Живая математика математические рассказы и головоломки яков перельман книга

Яков Исидорович Перельман

Головоломки. Задачи. Фокусы. Развлечения

Фокусы

Чудо нашего beкa

Афиша

То, о чем здесь рассказывается, я поклялся когда-то никому не открывать. Я был двенадцатилетним школьником, когда мне эту тайну доверили, а слово дал я мальчику моего же возраста.

В течение многих лет клятва строго соблюдалась мною. Почему я сейчас считаю себя свободным от нее, вы узнаете из последней главы рассказа. Теперь же начну сначала.

Это «начало» вспоминается мне в виде огромной пестрой афиши на одном из многочисленных заборов моего родного города.

Я спешил из школы домой, где ожидало меня недочитанное «Путешествие к центру земли» Жюля Верна, когда увидел большую красно-зеленую афишу, возвещавшую о совершенно необычайных вещах.

Прочтите сами эту афишу, и вы поймете, как она должна была меня озадачить.

– Надувательство! – услышал я за собой самоуверенный голос.

Я обернулся: позади читал ту же афишу один из учеников нашего класса, верзила-второгодник, называвший всех нас не иначе, как «мелюзгой».

– Обман и надувательство! – повторил он. – За твои деньги тебя же и одурачат.

– Не всякий позволит себя провести, – ответил я. – Умного человека не одурачат.

– А тебя одурачат, – отрезал он, не желая понять, кого разумел я под умным человеком.

Раздраженный его презрительным тоном, я решил непременно пойти на представление, но быть настороже и глядеть в оба. Если будут одураченные, я не окажусь в их числе. Нет, человека с головой не одурачишь!

Феноменальная память

В городском театральном зале случалось мне бывать редко, и потому я не сумел выбрать себе за небольшие деньги хорошее место. Пришлось сидеть довольно далеко от сцены. Хотя глаза у меня тогда были зоркие и видел я сцену недурно, я не мог отчетливо различить лица феноменального мальчика, «чуда нашего века». Мне показалось, что я где-то раньше видел это лицо.

Взрослый мужчина, вышедший на сцену одновременно с мальчиком, тотчас же приступил к «сеансу мнемоники», как выразился он, обращаясь к публике.

Приготовления были тщательные. Фокусник (так называл я его про себя) посадил мальчика на стул посреди сцены спиной к зрителям и завязал ему глаза.

Несколько человек из публики были допущены на сцену, чтобы удостовериться в отсутствии обмана.

Затем фокусник спустился со сцены, прошел между кресел в задние ряды и, держа в руках раскрытую папку с бумагой, предложил зрителям вписать туда названия задуманных предметов – каких угодно.

– Прошу запомнить порядковые номера ваших слов, – говорил он: – Феликс будет их называть. Не угодно ли вам, молодой человек, вписать несколько слов? – внезапно обратился фокусник ко мне.

Взволнованный неожиданностью, я не мог придумать, что писать.

Пишите же, не задерживайте!

Сидевшая рядом девушка торопила:

– Пишите же, не задерживайте! Не знаете, что? Ну, пишите: ножик, дождь, пожар…

Я смущенно вписал эти слова против №№ 68, 69 и 70.

– Запомните ваши номера, – сказал мне фокусник и пошел дальше по рядам кресел, пополняя список новыми словами.

– Номер сто! Достаточно, благодарю вас, – громко объявил он, наконец. – Прошу внимания! Теперь я прочту список вслух один только раз, и Феликс запомнит все слова от первого до последнего так твердо, что сможет повторить их в любом порядке: с начала до конца, с конца к началу, через одно, через три, через пять, и назовет в разбивку любой номер по требованию публики. Начинаю!

– Зеркало, ружье, весы, находка, лампа, билет, извозчик, бинокль, лестница, мыло… – раздельно произносил фокусник, не вставляя ни одного замечания.

Чтение длилось недолго, но список казался мне бесконечным. Не верилось, что в нем только сотня слов. Запомнить их, конечно, было выше сил человеческих.

– Брошка, дача, конфета, окно, папироса, снег, цепочка, ножик, дождь… – монотонно читал фокусник, не пропустив и моих слов.

Мальчик на сцене слушал, не делая никаких движений; казалось, он спал. Неужели он сможет повторить без пропусков все эти слова?

– Кресло, ножницы, люстра, сосед, звезда, занавес, апельсин. Кончено! – объявил фокусник. – Теперь прошу публику избрать контролеров. Я передам им этот список, чтобы они могли проверить ответы Феликса и сообщить всей публике, правильны ли они.

В числе трех контролеров оказался, между прочим, один из старших учеников нашей школы – толковый, рассудительный малый.

– Прошу внимания! – возгласил фокусник, когда «контрольная комиссия» получила список слов и заняла свое место в зале. – Сейчас Феликс повторит всю сотню слов от первого до последнего. Контролеров прошу внимательно следить по списку.

Зал затих. Среди общего молчания донесся с эстрады звонкий голос Феликса:

– Зеркало, ружье, весы, находка, лампа…

Слова произносились уверенно, не спеша, но и без запинок и промедлений, словно Феликс читал их по книге.

В изумлении переводил я глаза с мальчика, сидевшего вдалеке спиной к нам, на троих контролеров, стоявших в зале на стульях. При каждом слове мальчика я ожидал их уличающего «неверно!» Но они молча уставились в список; лица их выражали лишь сосредоточенное внимание.

Феликс продолжал перечисление слов, назвал мои три слова (я не догадался вести счет с самого начала и не мог проверить, действительно ли они были на 68-м, 69-м и 70-м местах) и перечислял дальше, без перерывов, пока не произнес последнего слова: «апельсин».

– Совершенно правильно. Ни единой ошибки! – объявил публике один из контролеров, военный, артиллерист.

– Не угодно ли публике, чтобы Феликс перечислил слова в обратном порядке? Или через три слова? Через пять? От одного назначенного номера до другого?

В ответ раздался смешанный гул голосов:

– Через семь слов!.. Все четные!.. Через три, через три!.. Первую половину в обратном порядке!.. От тридцать седьмого номера до конца!.. Все нечетные!.. Все кратные шести!..

– Трудно расслышать, прошу говорить не всем сразу, – упрашивал фокусник, стараясь перекричать шум.

– От семьдесят третьего номера назад до сорок восьмого, – зычно произнес сидевший впереди меня моряк.

– Хорошо. Внимание!.. Внимание! Феликс, назови, начиная с семьдесят третьего, все слова до сорок восьмого включительно. Контролеров прошу следить за ответами.

Феликс тотчас же начал перечислять и безошибочно назвал все слова.

– Не угодно ли теперь публике потребовать, чтобы Феликс указал прямо номер какого-нибудь слова из списка? – спросил фокусник.

Я набрался храбрости и, краснея до ушей, крикнул:

– Ножик!

– Шестьдесят восемь, – тотчас же ответил Феликс.

Номер слова был указан правильно. Посыпались вопросы из разных концов зрительного зала.

Феликс едва успевал давать ответы:

– Зонтик – восемьдесят три… Конфета – пятьдесят шесть… Перчатки – сорок семь… Часы – тридцать четыре… Книга – двадцать два… Снег – пятьдесят девять…

Когда фокусник объявил, что первое отделение кончено, весь зал долго хлопал в ладоши и вызывал Феликса. Мальчик выходил, улыбался на все стороны и снова скрывался. И опять лицо его казалось мне знакомым.

Чревовещание

Кто-то хлопнул меня до плечу. Я оглянулся: возле меня стоял тот школьник, который третьего дня читал со мной афишу.

– Ну что? Надули тебя, мелюзга? Заплатил полтинник, а одурачен на рубль?

– А ты разве не одурачен? – раздраженно возразил я.

• Книги
• Математика
• Яков Перельман
• 
  📚 Живая математика. Математические рассказы и головоломки

Эта и ещё 2 книги за 399 ₽

По абонементу вы каждый месяц можете взять из каталога одну книгу до 700 ₽ и две книги из персональной подборки. Узнать больше

Оплачивая абонемент, я принимаю условия оплаты и её автоматического продления, указанные в оферте

Удобные форматы для скачивания

Поделиться отзывом на книгу

      МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАССКАЗЫ И ГОЛОВОЛОМКИ

     
      АННОТАЦИЯ

     
      Книга Я. И. Перельмана принадлежит к числу наиболее доступных из известного цикла книг автора, посвящённых занимательным вопросам математики. Здесь собрана разнообразные математические головоломки, из которых многие облечены в форму маленьких рассказов. Для их решения достаточно знакомства с элементарной арифметикой и простейшими сведениями из геометрии. Лишь незначительная часть задач требует уменья составлять и решать уравнения.

      Книга рассчитана на подростков — учащихся средней школы, школ рабочей молодёжи и на взрослых, ищущих разумных и полезных развлечений в часы отдыха.

     
      ГЛАВА ПЕРВАЯ

     
      ЗАВТРАК С ГОЛОВОЛОМКАМИ

     
      1. Белка на поляне. — Сегодня утром я с белкой в прятки играл,— рассказывал во время завтрака один из собравшихся за столом дома отдыха.— Вы знаете в нашем лесу круглую полянку с одинокой берёзой посредине? За этим деревом и пряталась от мепя белка. Выйдя из чащи на полянку, я сразу заметил беличью мордочку с живыми глазками, уставившуюся на меня из-за ствола. Осторожно, не приближаясь, стал я обходить по краю полянки, чтобы взглянуть па зверька. Раза четыре обошёл я дерево — по плутовка отступала но стволу в обратную сторону, по-прежнему показывая только мордочку. Так и не удалось мне обойти вокруг белки.

      — Однако,— возразил кто-то,— сами же вы говорите, что четыре раза обошли вокруг дерева.

      — Вокруг дерева, но не вокруг б е л к и!

      — Но белка-то на дереве?

      — Что же из того?

      — То, что вы кружились и вокруг белки.

      — Хорошо кружился, если ни разу не видел её спинки.

      При чём тут синяка? Белка в центре, вы ходите по кругу, значит, ходите вокруг белки.

      — Ничуть не значит. Вообразите, что я хожу около вас по кругу, а вы поворачиваетесь ко мне всё время лицом, пряча спину. Скажете вы разве, что я кружусь вокруг вас?

      — Конечно, скажу. Как же иначе?

      — Кружусь, хотя не бываю позади вас, не вижу вашей спины?

      — Далась вам спина! Вы замыкаете вокруг меня путь — вот в чём суть дела, а пе в том, чтобы видеть спину.

      — Позвольте: что значит кружиться вокруг чего-нибудь? По-моему, это озпачает только одно: становиться последовательно в такие места, чтобы видеть предмет со всех сторон. Ведь правильно, профессор? — обратился спорящий к сидевшему за столом старику.

      — Спор идёт у вас в сущности о словах.— ответил учёный.— А в таких случаях надо начинать Есегда с того, о чём вы сейчас только завели речь: надо договориться о значении слов. Как понимать слова: «двигаться вокруг предмета»? Смысл их может быть двоякий. Можно, во-первых, разуметь под ними перемещение по замкнутой линии, внутри которой находится предмет. Это одно понимание. Другое: двигаться по отношению к предмету так. чтобы видеть его со всех сторон. Держась первого понимания, вы должны признать, что четыре раза обошли вокруг белки. Придерживаясь же второго,— обязаны заключить, что не обошли вокруг неё ни разу. Поводов для спора здесь, как видите, нет. если обе стороны говорят на одном языке, понимают слова одинаково.

      — Прекрасно, можно допустить двоякое понимание. Но какое всё же правильнее?

      — Так ставить вопрос не приходится. Уславливаться можно о чём угодно. Уместно только спросить, что более согласно с общепринятым пониманием. Я сказал бы, что лучше вяжется с духом языка первое понимание и вот почему. Солнце, как известно, делает полный оборот вокруг своей оси немного более, чем за 26 суток.

      — Солнце вертится?

      — Конечно, как и Земля вокруг оси. Вообразите, однако, что вращение Солнца совершается медленнее, а именно, что оно делает один оборот не в 25 суток, а в 365/4 суток, т. е. в год. Тогда Солнце было бы обращено к Земле всегда одной и той же своей стороной; противоположной половины, «спины» Солнца, мы никогда не видели бы. Но разве стал бы кто-нибудь утверждать из-за этого, что Земля не кружится вокруг Солнца?

      — Да, теперь ясно, что я всё-гаки кружился вокруг белки.

      — Есть предложение, товарищи! Не расходиться,— сказал один из слушавших спор,— Так как в дождь гулять никто не пойдёт, а перестанет дождик, видно, не скоро, то давайте проведём здесь время за головоломнами. Начало сделано. Пусть каждый по очереди придумает или припомнит какую-нибудь головоломку. Вы же, профессор, явитесь наптим верховным судьёй.

      — Если головоломки будут с алгеброй или с геометрией, то я должна отказаться,— заявила молодая женщина.

      — Ия тоже,— присоединился кто-то.

      — Нет. нет, участвовать должны все! А мы попросим присутствующих не привлекать ни алгебры, ни геометрии, разве только самые начатки. Возражений не имеется?

      — Тогда я согласна и готова первая предложить головоломку.

      — Прекрасно, просим! — донеслось с разных сторон.— Начинайте.

     
      2. В общей кухне.— Головоломка моя зародилась в обстаповке дачной квартиры. Задача, так сказать, бытовая. Жилица — назову её для удобства Тройкппой — положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятёркина — 5 нолей, жилец Бестопливный. у которого, как вы догадываетесь, не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов оп уплатил соседкам 8 копеек. Как должны они поделить между собой эту плату?

      — Пополам,— поспешил заявить кто-то. Бестоплив-пий пользовался их огнём в равной мере.

      — Ну, нет,— возразил другой,— надо принять в соображение, как участвовали в этом огне дровяпые вложения гражданок. Кто дал 3 полена, должен получить 3 копейки; кто дал 5 полен — получает 5 копеек. Вот это будет справедливый делёж.

      — Товарищи,— взял слово тот, кто затеял игру и считался теперь председателем собрания.— Окончательные решения головоломок давайте пока не объявлять. Пусть каждый ещё подумает над ними. Правильные ответы судья огласит нам за ужином. Теперь следующий. Очередь за вами, товарищ пионер!

     
      3. Работа школьных кружков.— В нашей школе,— начал пионер,— имеется 5 кружков: слесарный, столярный, фотографический, шахматный и хоровой. Слесарный кружок занимается через день, столярный — через 2 дня на 3-й, фотографический — каждый 4-й день, шахматный — каждый 5-й день и хоровой — каждый 6-й день. Первого января собрались в школе все 5 кружков, а затем занятия велись в пазначенпые по плапу дни, без отступлений от расписания. Вопрос состоит в том, сколько в первом квартале было ещё вечеров, когда собирались в школе все 5 кружков.

      — А год был простой или високосный? — осведомились у пионера.

      Простой.— Значит, первый квартал,— январь, февраль, март,— надо считать за 90 дней?

      — Очевидно.

      — Позвольте к вопросу вашей головоломки присоединить ещё один,— сказал профессор.— А именно: сколько в том же квартале года было таких вечеров, когда кружковых занятий в школе вовсе не происходило?

      — Ага, понимаю! — раздался возглас.— Задача с подвохом. Ни одного дня не будет больше с 5 кружками и ни одного дня без всяких кружков. Это уж ясно!

      — Почему? — спросил председатель.

      — Объяснить не могу, но чувствую, что отгадчика хотят поймать впросак.

      — Ну, это не довод. Вечером выяснится, правильно ли ваше предчувствие. За вами очередь, товарищ!

     
      4. Кто больше? —Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них на тротуаре. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взад и вперёд по тротуару. Кто насчитал больше прохожих?

      — Идя, больше насчитаешь, ясное дело,— донеслось с другого конца стола.

      — Ответ узнаем за ужином,— объявил председатель.— Следующий!

     
      5. Дед и внук.— То, о чём я скажу, происходило в 1932 г. Мне было тогда ровно столько лет, сколько выражают последние две цифры года моего рождения. Когда я об этом соотношении рассказал деду, он удивил меня заявлением, что с его возрастом выходит то же самое. Мне это показалось невозможным

      — Разумеется, невозможно,— вставил чей-то голос.

      — Представьте, что вполне возможно. Дед доказал мне это. Сколько же лет было каждому из нас?

     
      6. Железнодорожные билеты.— Я — железнодорожная кассирша, продаю билеты,— начала следующая участница игры.— Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой па той жо дороге, притом в обоих направлениях. Я служу па дороге с 25 станциями. Сколько же, по-вашему, различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех её касс?

      — Ваша очередь, товарищ лётчик,— провозгласил председатель.

     
      7. Полёт вертолёта.— Из Ленинграда вылетел прямо на север вертолёт. Пролетев в северном направлении 500 км, он повернул на восток. Пролетев в эту сторону 500 км, вертолёт сделал новый поворот — на юг и прошёл в южном направлении 500 км. Затем оп повернул на запад и, пролетев 500 км, опустился. Спрашивается: где расположено место спуска вертолёта относительно Ленинграда — к западу, к востоку, к северу или к югу?

      — На простака рассчитываете,— сказал кто-то: — 500 шагов вперёд, 500 вправо, 500 назад да 500 влево — куда придём? Откуда вышли, туда и придём!

      — Итак, где по-вашему спустился вертолёт?

      — На том же ленинградском аэродроме, откуда поднялся. Не так разве?

      — Именно не так.

      — В таком случае1 я ничего не понимаю!

      — В самом деле, здесь что-то неладно, — вступил в разговор сосед. — Разве вертолёт спустился не в Ленинграде?.. Нельзя ли повторить задачу?

      Лётчик охотно исполнил просьбу. Его внимательно выслушали и с недоумением переглянулись.

      Ладно,— объявил председатель.— До ужина успеем подумать об этой задано, а сейчас будем продолжать.

     
      8. Тень.— Позвольте мне,— сказал очередпой загадчик1, — взять сюжетом головоломки тот же вертолёт. Что шире: вертолёт или его полная тень?

      — В этом и вся головоломна?

      — Вся.

      Тень, конечно, шире вертолёта: ведь лучи солнца расходятся веером,— последовало сразу решение.

      — Я бы сказал,— возразил кто-то,— что, напротив, лучи солнца параллельны; тот, и вертолёт одной ширины.

      — Ч го вы? Разве не случалось вам видеть расходящиеся лучи от спрятанного за облаком солнца? Тогда можно воочию убедиться, как сильно расходятся солнечные лучи. Тень вертолёта должна быть значительно больше вертолёта, как тень облака больше самого облака.

      — Почему же обычно принимают, что лучи солнца параллельны? Моряки, астрономы — все так считают

      Председатель не дал спору разгореться и предоставил слово следующему загадчику.

     
      9. Задача со спичками. Очередной оратор высыпал на стол все спички из коробка и стал распределять их в три кучки.

      — Костёр собираетесь раскладывать? — шутили слушатели.

      — Головоломка,— объяснил загадчик,— будет со спичками. Вот их три неравные кучки. Во всех вместе 48 штук. Сколько в каждой, я вам не сообщаю. Зато отметьте следующее: если из первой кучи я переложу во вторую столько спичек, сколько в этой второй куче имелось, затем из второй в третью переложу столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться, и, наконец, из третьей переложу в первую столько спичек, сколько в этой первой куче будет тогда иметься, — если, говорю, всё это проделать, то число спичек во всех кучках станет одинаково. Сколько же было в каждой кучке первоначально?

     
      10. Коварный пень.— Головоломка эта,— начал сосед последнего загадчика,- напоминает задачу, которую давно как-то задал мне деревенский математик.

      Это был целый рассказ, довольно забавный. Повстречал крестьянин в лесу незнакомого старика. Разговорились. Старик внимательно оглядел крестьянина и сказал?

      — Известен мне в леску этом пенёчек один удивительный. Очень в нужде помогает.

      — Как помогает? Вылечивает?

      — Лечить не лечит, а деньги удваивает. Положишь под него кошель с деньгами, досчитаешь до ста — и готово: деньги, какие были в кошельке, удвоились. Такое свойство имеет. Замечательный пень!

      — Вот бы мне испробовать,— мечтательно сказал крестьянин.

      — Это можно. Отчего же? Заплатить только надо.

      — Кому платить? И много ли?

      — Тому платить, кто дорогу укажет. Мне, значит. А много ли, о том особый разговор.

      Стали торговаться. Узнав, что у крестьянина в кошельке денег мало, старик согласился получать после каждого удвоения по 1 р. 20 к. На том п порешили.

      Старик повёл крестьянина в глубь леса, долго бродил с ним и, наконец, разыскал в кустах старый, покрытый мохом еловый пень. Взяв из рук крестьянина кошелёк, он засунул его между корнями пня. Досчитали до ста. Старик ‘снова стал шарить и возиться у основания пня, наконец извлёк оттуда кошелёк и подал крестьянину.

      Заглянул крестьянин в кошелёк и что же? — деньги в самом деле удвоились! Отсчитал из них старику обе-щанпые 1 р. 20 к. и попросил засунуть кошелёк вторично под чудодейственный пень.

      Снова досчитали до ста, снова старик стал возиться в кустах у пня, и снова совершилось диво: деньги в кошельке удвоились. Старик вторично получил из кошелька обусловленные 1 р. 20 к.

      В третий раз спрятали кошель под шли,. Деньги удвоились н на зтот раз. Но hoi да крестьянин уплатил старину обещанное вознаграждение, н кошельке не осталось больше ни одной копёнки. Седпнга потерял на этой комбинации все свои деньги. Удваивать дальше было уже нечего, и крестьянин уныло побрёл из лесу.

      Секрет волшебного удвоения денег вам, конечно, ясен: старик не даром, отыскивая кошелёк, мешкал в зарослях у имя. По можете ли вы ответить на другой вопрос: сколько было у крестьянина денег до злополучных опытов с коварным пнём?

     
      11. Задача о декабре. Я, товарнщи, языковед, от всякой математики далёк,— начал ножнлой человек, которому пришёл черёд задавать головоломку.— Не ждите от меня поэтому математической задачи. Могу только предложить вопрос из знакомой мне области. Разрешите задать календарную головоломку?

      — Просим!

      — Двенадцатый месяц называется у нас «декабрь». А вы знаете, что собственно значит «декабрь»? Слово это происходит от греческого слова «дека» — десять, отсюда также слово «декалитр» — десять литров, «декада» — десять дней и др. Выходит, что месяц декабрь носит название «десятый». Чем объяснить такое несоответствие?

      — Ну теперь осталась только одна головоломка,— произнёс председатель.

     
      12. Арифметический фокус.— Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь из вас, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет на бумажке, тайно от меня, любое трёхзначное число.

      — Могут быть и нули в этом числе?

      — Не ставлю никаких ограничений. Любое трёхзначное число, какое пожелаете.

      — Написал. Что теперь?

      — Припишите к нему это же число ещё раз. У вас получится, конечно, шестизначное число.

      — Есть. Шестизначное число.

      — Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит зто шестизначное число на семь.

      — Легко сказать: разделить на семь! Может и не разделится.

      — Не беспокойтесь, поделится без остатка.

      — Числа не знаете, а уверены, что поделится.

      — Сначала разделите, потом будем говорить.

      — Ма ваше счастье разделилось.

      — Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.

      — Думаете опять повезёт — разделится?

      — Делите, остатка не получится.

      — В самом деле без остатка! Теперь что?

      — Передайте результат дальше. Разделим его ну, скажем, на 13.

      — Нехорошо выбрали. Без остатка па 13 мало чисел делится Ап, нет, разделилось нацело. Везёт же нам!

      — Дайте мне бумажку с результатом; только сложите её, чтобы я но видел числа.

      Не развёртывая листа бумаги, «фокусник» вручил его председателю.

      — Извольте получить задуманное вами число. Правильно?

      — Совершенно верно! — с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку.— Именно зто я и задумал теперь, так как список ораторов исчерпан, позвольте закрыть наше собрание, благо и дождь успел пройти. Разгадки всех головоломок будут оглашены сегодня же, после ужина. Записки с решениями можете подавать мне.

     
      КОНЕЦ ФРАГМЕНТА КНИГИ

        _____________________