На полке стоят 10 книг 5 из них собрание сочинений толстого

Сколькими различными
способами можно расставить на полке
собрание сочинений, состоящее из 10-ти
томов, при условии, что первый и пятый
тома не должны стоять рядом.

Задача
II.

Автокомбинат
имеет 7 автомобилей малой грузоподъёмности
и 10 большегрузных автомобилей. Нужно
выбрать 3 автомобиля малой грузоподъёмности
для обслуживания трёх торговых организаций
и 5 большегрузных автомобилей для работы
на стройке. Сколькими способами
автокомбинат может осуществить свой
выбор?

Задача
III.

Имеется пять кусков
материи разных цветов. Сколько из этих
кусков можно сшить различных флагов,
если флаги состоят из трёх горизонтальных
полос, причём две соседние полосы должны
быть разного цвета?

Задача
IV.

Сколько
существует различных вариантов рассадки
n человек
за круглым столом, причём один вариант
отличается от другого тем, что хотя бы
у одного человека при разных вариантах
разные соседи слева.

Задача
V.

У Деда Мороза в
мешке 7 одинаковых подарков, которые
можно произвольным образом распределить
среди 5-ти детей. Сколькими способами
можно это сделать?

Задача
VI.

Сколько
различных раскладов можно получить,
раздавая колоду из 52-х
карт четырём игрокам?

Задача
VII.

Сколько
различных раскладов можно получить,
раздавая колоду из 52-х
карт четырём игрокам, при условии, что
каждый игрок получает одного туза?

Задача
VIII.
У Деда Мороза в мешке 7 различных подарков,
которые можно произвольным образом
распределить среди 5-ти детей. Сколькими
способами можно это сделать?

Ответы.

Задача
I.
8×9!
Задача II.

×.
Задача III.

+2×.
Задача IV.
(п – 1)!
Задача V.

.
Задача VI.

.
Задача VII.


Задача VIII.
5⁷.

Решения. Задача I.

Всего
существует 10! различных перестановок
10-ти книг. Чтобы подсчитать, сколько
можно найти перестановок, в которых
первый и пятый тома стоят рядом,
предположим, что к первому тому приклеен
справа пятый том, и они как бы образуют
отдельную книгу. Таким образом, получилось
9 книг, которые могут быть расставлены
9! способами. Теперь нужно учесть, что
первый и пятый тома могут быть склеены
в другом порядке, и можно получить ещё
9! различных перестановок 10-ти книг, в
которых первый и пятый тома стоят рядом.
Отсюда следует, что ответ задачи
составляет число, равное 10! – 2×9! = 8×9!

Задача II.

Один
выбор тройки автомобилей малой
грузоподъёмности от другого может
отличаться не только составом выбранных
машин, но и их распределением по торговым
организациям. Возможно, что эти торговые
организации расположены на различных
расстояниях от автокомбината, что у них
разные условия оплаты труда и т. п. Таким
образом, здесь речь идёт о размещениях
из семи по три, число которых равно
.

Напротив,
выбор тяжёлых грузовиков определяется
только их составом, так как все они будут
работать, как можно заключить из
формулировки задачи, в одинаковых
условиях. Таким образом, здесь речь идёт
о сочетаниях из десяти по пять, число
которых равно
.

Теперь
заметим, что каждый выбор автомобилей
малой грузоподъёмности может быть
осуществлён при

различных вариантах выбора тяжёлых
грузовиков. Отсюда следует, что выбрать
требуемую восьмёрку машин автокомбинат
может числом способов, равным
×.

Задача
III.

Если
флаги составлять из трёх полос трёх
разных цветов, то один флаг от другого
может отличаться не только выбором
цветов полос, но и порядком их расположения.
Это значит, что из пяти кусков можно
изготовить

различных флагов, состоящих из трёх
полос трёх различных цветов.

По
условию задачи каждый флаг можно
изготовить из полос двух цветов, например,
следующих сверху вниз в таком порядке:
“красная, белая, красная”, или в таком
порядке: “белая, красная, белая”. Выбор
двух цветов можно осуществить числом
способов, равным

и при каждом варианте выбора получить
два различных флага.

Из
сказанного следует, что всего можно
изготовить
+2×
различных флагов.

Задача
IV.

Занумеруем
всех людей числами от 1 до п.
Посадим за стол человека с номером 1 на
любое место. Будем называть это место
первым. Для того, чтобы занять место
слева от него (назовём это место вторым)
есть п – 1
претендент. Таким образом, мы получаем
п – 1
вариант посадки двух человек. Выбрав
кого-либо из претендентов на второе
место, и обозначив место слева от второго
третьим, будем на третье место иметь
п – 2
претендента. Отсюда следует, что первые
три места можно занять числом способов,
равным (п – 1)(п – 2).
Действуя таким образом дальше, мы
очевидно переберём все способы посадки
п человек
за круглым столом, и эт их способов будет
(п – 1)×(п – 2)
×¼×3×2 = (п – 1)!

Задача
V.

К сожалению, условие
задачи не накладывает никаких ограничений
на действия Деда Мороза, кроме одного:
все подарки должны быть розданы. Таким
образом, все подарки могут достаться,
например, одному ребёнку.

Обозначим
каждого ребёнка символом Р_i,
где i =
1,2,3,4,5, а каждый подарок буквой П.
Рассмотрим последовательность

Р₁,
П,
П,
Р₂,
Р₃,
П,
П,
П,
Р₄,
П,
Р₅,
П

Будем
эту последовательность интерпретировать
так: первый ребёнок получил 2 подарка,
второй ребёнок не получил подарков,
третий ребёнок получил 3 подарка,
четвёртый и пятый получили по одному
подарку. Теперь заметим, что каждый
способ распределения подарков может
быть представлен подобной последовательностью.
Эта последовательность должна начинаться
всегда с Р₁, дальше на каком-то
месте правее должен находиться символ
Р₂, дальше вправо – символ
Р₃ и т. д. На оставшиеся пустые
места должны быть поставлены символы П.
Число подарков, полученных ребёнком Р_i
(i = 1,
2, 3, 4), равно числу символов П, стоящих
между символами Р_i и Р_i+1.
Пятый ребёнок получает столько подарков,
сколько символов П находится после
символа Р₅. Всего в этой
последовательности должно быть 7 + 5 = 12
членов, но первое место всегда занято
символом Р₁. Каждая такая
последовательность отвечает единственному
способу распределения подарков. Таких
последовательностей можно найти столько,
сколькими способами можно выбрать 7
мест из оставшихся 11-ти для символов П
или, что то же самое, 4 места для символов
Р_i. Из этого
следует, что существует

вариантов распределения подарков.

В задачах
VI и VII
методы решения легко находятся, если
известны ответы.

Задача
VIII.
Первый подарок можно
отдать любому из пяти детей. Очевидно,
второй подарок тоже может получить
любой из пяти детей. Следовательно, два
подарка можно распределить 25-ю способами.
При этом третий подарок имеет 5 возможных
владельцев, таким образом, имеется
5³=125
вариантов распределения 3-х подарков,
и т. д.

Задачи
для самостоятельного решения.

1) Автокомбинат
получил заявку от строительной фирмы
на 5 тяжёлых грузовиков для работы на
стройке. Тяжёлый грузовик можно заменить
двумя лёгкими грузовиками. На автокомбинате
в настоящий момент имеется 5 свободных
тяжёлых грузовиков и 5 свободных лёгких
грузовиков. Сколько вариантов составления
колонны грузовиков для работы на стройке
имеет автокомбинат? (Учесть, что каждая
машина закреплена за своим шофёром).

Ответ: 101.

2) Сколькими
способами можно разложить 7 одинаковых
шаров по 4-м ящикам, если в каждый ящик
должен попасть хотя бы один шар?

Ответ: 20.

3) Сколькими
способами можно разложить 5 разноцветных
шаров по 3-м ящикам?

Ответ: 243.

4) Директор фирмы
составил список из 5-ти человек, которых
он может назначить на вакантную должность
своего заместителя, и список из 4-х
человек, которых он может назначить на
вакантную должность главного бухгалтера.
В оба списка вошёл сотрудник Иванов.
Других пересечений этих списков не
оказалось. Сколько вариантов заполнения
двух вакантных должностей имеет директор?

Ответ:
19.

5) Директор фирмы
составил список из 5-ти возможных
кандидатов на вакантные должности своих
1-го, 2-го и 3-го заместителей, а также
список из 4-х возможных кандидатов на 2
вакантные должности своих помощников.
Сколько вариантов заполнения пяти
вакантных должностей имеет директор?

Ответ: 360.

6) Сколько можно
найти вариантов расстановки на полке
10-ти томов собрания сочинений при
условии, что первый, пятый и десятый
тома не должны образовывать тройку
стоящих рядом книг?

Ответ:
84×8!

7) У одного человека
есть 7 книг, а у другого — 9 книг. Сколькими
способами они могут обменять три книги
одного на три книги другого?

Ответ:
2940.

Бригада строителей
состоит из 16-ти штукатуров и 4-х маляров.
Сколькими способами бригаду можно
разделить на две бригады, чтобы в одной
из них было 10 штукатуров и 2 маляра, а в
другой 6 штукатуров и 2 маляра?

Ответ:
48048

Соседние файлы в папке 3 Семестр ИНФ

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Источник

Сколькими способами можно расположить на полке 10 томов энциклопедии так, чтобы девятый и десятый тома рядом не стояли? — Комбинаторика — Ответ 3747324

Ответ

9 и 10 тома считаем за один очень толстый том, тогда получаем 8 худеньких томов + 1 толстый = 9 томов.
Количество способов расположения = количеству перестановок 8 тоненьких томов и одного толстого = 9!

Сколькими способами можно по кругу поставить 5 кукол и 3 игрушки так, чтобы при этом мягкие игрушки не стояли рядом
2.Сколькими способами можно по кругу поставить 5 различных кукол и 3 различные мягкие игрушки так.

Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?
Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не.

На книжной полке стоит собрание сочинений в 20 томов.сколькими способами можно переставить книги
на книжной полке стоит собрание сочинений в 20 томов.сколькими способами можно переставить книги.

Сколькими способами можно выбрать 9 книг, которые не стояли рядом?
На полке 20 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 9 книг, которые не стояли рядом? А.

Сколькими способами можно выбрать 9 книг, которые не стояли рядом?
Помогите, пожалуйста, с задачей. Заранее спасибо. На полке 20 книг. Сколькими способами можно.

Сколькими способами можно посадить за стол мужчин и женщин так, чтобы два лица одного пола не сидели рядом?
Здравствуйте, уважаемые. Я к вам снова по поводу комбинаторики. Есть задача: Сколькими.

Сколькими способами можно посадить за стол мужчин и женщин так, чтобы два лица одного пола не сидели рядом?
Здравствуйте, не подскажите как сделать подобную задачу если надо рассадить на карусель 6 детей и 3.

Сколькими способами можно рассадить этих людей, чтобы знакомые сидели рядом?
Помогите пожалуйста с задачами. Для закрытия всех долгов не хватает только этого 1. Среди 12.

Источник

Школе NET

Register

Do you already have an account? Login

Login

Don’t you have an account yet? Register

Newsletter

Submit to our newsletter to receive exclusive stories delivered to you inbox!

Васян Коваль

1) Монету бросают три раза. Сколько различных результатов бросания можно ожидать?
2)Сколькими способами можно расположить на полке 10 томов энциклопедии так, чтобы 9 и 10 тома рядом не стояли?
3)На группу из 25 человек выделили 3 пригласительных билета на вечер. Сколькими способами они могут быть распределены( не более 1 в руки)?

Лучший ответ:

Онтонио Веселко

1) Монету бросают три раза. Сколько различных результатов бросания можно ожидать?

N — количество вариантов падения монеты (орёл/решка) — 2
m — количество бросаний — 3

2) Сколькими способами можно расположить на полке 10 томов энциклопедии так, чтобы 9 и 10 тома рядом не стояли?

F10 = 3’628’800
5 часть комбинаций будет иметь соседнее расположение томов 9 и 10
А 4/5 комбинаций будут удовлетворять данному условию:
3’628’800*4/5=2’903’040

3) На группу из 25 человек выделили 3 пригласительных билета на вечер. Сколькими способами они могут быть распределены( не более 1 в руки)?

3 из 25 вариантов — 15625, из них 25 часть (625) отбрасывается чтобы одному человеку не попадало 3 билета.
15625-625=15000

2/3 (10000) отбрасываются случаи, когда одному человеку попадает 2 билета.
15000-10000=5000

Источник

Сколькими способами можно расположить на полке 10 томов энциклопедии так, чтобы девятый и десятый тома рядом не стояли? — Комбинаторика — Обсуждение 707567

Поиск Google по форуму Поиск по форуму Расширенный поиск

Похожие вопросы: