Катет как пишется в геометрии

This article is about the geometric meaning. For the insect, see Cathetus (moth). For the plant, see Phyllanthus.

In a right triangle, a cathetus (originally from the Greek word Κάθετος; plural: catheti), commonly known as a leg, is either of the sides that are adjacent to the right angle. It is occasionally called a «side about the right angle». The side opposite the right angle is the hypotenuse. In the context of the hypotenuse, the catheti are sometimes referred to simply as «the other two sides».

If the catheti of a right triangle have equal lengths, the triangle is isosceles. If they have different lengths, a distinction can be made between the minor (shorter) and major (longer) cathetus. The ratio of the lengths of the catheti defines the trigonometric functions tangent and cotangent of the acute angles in the triangle: the ratio is the tangent of the acute angle adjacent to and is also the cotangent of the acute angle adjacent to .

In a right triangle, the length of a cathetus is the geometric mean of the length of the adjacent segment cut by the altitude to the hypotenuse and the length of the whole hypotenuse.

By the Pythagorean theorem, the sum of the squares of the lengths of the catheti is equal to the square of the length of the hypotenuse.

The term leg, in addition to referring to a cathetus of a right triangle, is also used to refer to either of the equal sides of an isosceles triangle or to either of the non-parallel sides of a trapezoid.

In architecture, the term cathetus has been used for the eye of the volute. It was so termed because its position is determined, in an Ionic (or voluted) capital, by a line let down from the point in which the volute generates.^[1]

References[edit]

External links[edit]

• Bernhardsen, T. Geographic Information Systems: An Introduction, 3rd ed. New York: Wiley, p. 271, 2002.
• Cathetus at Encyclopaedia of Mathematics
• Weisstein, Eric W. «Cathetus». MathWorld.

This article is about the geometric meaning. For the insect, see Cathetus (moth). For the plant, see Phyllanthus.

In a right triangle, a cathetus (originally from the Greek word Κάθετος; plural: catheti), commonly known as a leg, is either of the sides that are adjacent to the right angle. It is occasionally called a «side about the right angle». The side opposite the right angle is the hypotenuse. In the context of the hypotenuse, the catheti are sometimes referred to simply as «the other two sides».

If the catheti of a right triangle have equal lengths, the triangle is isosceles. If they have different lengths, a distinction can be made between the minor (shorter) and major (longer) cathetus. The ratio of the lengths of the catheti defines the trigonometric functions tangent and cotangent of the acute angles in the triangle: the ratio is the tangent of the acute angle adjacent to and is also the cotangent of the acute angle adjacent to .

In a right triangle, the length of a cathetus is the geometric mean of the length of the adjacent segment cut by the altitude to the hypotenuse and the length of the whole hypotenuse.

By the Pythagorean theorem, the sum of the squares of the lengths of the catheti is equal to the square of the length of the hypotenuse.

The term leg, in addition to referring to a cathetus of a right triangle, is also used to refer to either of the equal sides of an isosceles triangle or to either of the non-parallel sides of a trapezoid.

In architecture, the term cathetus has been used for the eye of the volute. It was so termed because its position is determined, in an Ionic (or voluted) capital, by a line let down from the point in which the volute generates.^[1]

References[edit]

External links[edit]

• Bernhardsen, T. Geographic Information Systems: An Introduction, 3rd ed. New York: Wiley, p. 271, 2002.
• Cathetus at Encyclopaedia of Mathematics
• Weisstein, Eric W. «Cathetus». MathWorld.

Понятия и определения

Знак треугольника в первом веке ввёл в обиход древнегреческий философ и учёный Герон. Его свойства изучали Платон и Евклид. По их мнению, вся поверхность прямолинейного вида состоит из множеств различных треугольников. В геометрии под ними понимается область, лежащая в плоскости, ограниченной тремя отрезками, соединяющимися в трёх точках, не принадлежащих одной прямой.

Линии, образующие область, называются сторонами, а точки соприкосновения отрезков — вершинами. Основными элементами многоугольника являются:

1. Медиана — отрезок, соединяющий середину с противолежащим углом. В треугольнике три медианы, которые пересекаются в одной точке. Называется она центроидом и определяет центр тяжести объекта.
2. Высота — линия, опущенная из вершины на противоположную сторону, образующую с ней прямой угол. Место пересечения высот называют ортоцентром.
3. Биссектриса — прямая, проведённая из угла таким образом, что делит его на две равные части. Если в треугольник вписать окружность, соприкасающуюся с его сторонами, то её центр совпадёт с точкой пересечения биссектрис. Называют это место — инцентр.

В зависимости от видов углов, треугольники разделяют на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Но каким бы ни был тип фигуры, существует закономерность, что сумма всех углов всегда равна 180 градусам. Поэтому как минимум два угла должны быть острыми.

Различают треугольники и по числу равных сторон. Так, если они все равны, фигура называется равносторонней. Когда же по величине совпадают только две стороны, то многоугольник является равнобедренным. Его главное свойство в том, что углы равны. Частным случаем равнобедренного многоугольника является правильный треугольник (разносторонний).

Чтобы не возникала путаница, существуют стандартные обозначения величин. Вершины подписываются заглавными буквами A, B, C, а углы — греческими символами: α, β, γ. Стороны же обозначают прописными буквами латинского алфавита: a, b, c.

Свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это симметричный многоугольник, сумма двух углов которого равняется 90 градусов. Так как общая сумма всех трёх углов составляет 180 градусов, то соответственно третий угол равен 90 градусам. Стороны, образующие его, называют катетами, а оставшийся отрезок гипотенузой.

К основным свойствам фигуры относят следующее:

• гипотенуза многоугольника всегда больше любого из его катетов;
• сторона, располагающаяся напротив угла в 30 градусов, составляет половину гипотенузы;
• два катета являются высотами треугольника;
• середина окружности, описанная вокруг фигуры, совпадает с гипотенузой, при этом медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу, одинаковая с радиусом круга;
• численное значение гипотенузы, возведённое в квадрат, равно сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

Эти основные признаки при решении геометрических задач помогают определить класс треугольника и рассчитать его величины. Большое значение при этом имеет вычисление значений катетов.

Так, если известна гипотенуза, то найти катеты, зная угол, не составит труда. Определив же длину катетов, вычислить оставшуюся сторону можно по теореме Пифагора. Периметр фигуры определяют сложением двух катетов и гипотенузы, а площадь находят перемножением катетов и делением полученного ответа на два.

Зная катеты, довольно просто вычислить угол. Нужно всего лишь запомнить, что соотношение сторон между собой равно тангенсу противолежащего угла и котангенсу, находящемуся рядом. При этом, зная любой из углов, найти второй можно простым вычитанием известного значения из девяноста. Высота же у прямоугольника равна косинусу прилежащего угла.

Формула для нахождения биссектрисы и медианы довольно сложная. Для нахождения первой величины используют преобразование радикала из суммы квадратов катетов к двум, а второй — подстановку радикала вместо стороны, лежащей напротив прямого угла.

Теорема Пифагора и углы

Эта теорема занимает одно из центральных мест в математике. Алгебраическая формулировка её гласит, что в прямоугольнике квадрат длины гипотенузы по своему значению равен сумме квадратов двух прилегающих к ней сторон, то есть катетов. Например, если обозначить гипотенузу буквой c, а катеты а и b, то математически её можно записать в виде формулы: a²+b² = c².

Существует несколько доказательств этой теоремы. Самое простое из них — это использование подобия треугольников. В его основе лежат аксиомы. Пусть имеется геометрическая фигура ABC, у которой вершина C является прямой, то есть её угол равен 90 градусов. Если из точки С опустить высоту, а место пересечения с противолежащей стороной обозначить H, то получится два треугольника. Один будет состоять из вершин AHC, а другой BHC. Эти новые фигуры подобны ABC по двум углам. Следующие выражения будут верными:

• BC/AB = HB/BC;
• AC/AB = AH/AC.

Приведённые записи эквивалентны равенствам: BC² = AB * HB; AC² = AB * AH. Сложив первую и вторую формулу, получается: BC² + AC² = AB * (HB + AH) = AB². Что и следовало доказать.

Используя это фундаментальное правило и свойство, что катет, расположенный напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, проводят множество расчётов, связанных с вычислением длин сторон. Для доказательства, что AC = BC/2, приводят следующие рассуждения.

Так как вершина B равна 30 градусам, то, согласно правилу, разворот С должен составлять C =30*2 = 60 градусов. К имеющемуся треугольнику можно приложить точно такую же фигуру, делая сторону AB центром симметрии. Тогда для многоугольника BCD будет справедливо, что B = D = 60º. Исходя из этого можно утверждать, что DC = BC. Но, так как AC = ½ DC, то соответственно AC = ½ BC.

Но не всегда известны все данные, необходимые для нахождения длины катета по приведённым теоремам. Поэтому для вычисления катетов используются и тригонометрические соотношения.

Тригонометрические формулы

Для нахождения длины катета прямоугольного треугольника используют простые формулы. Для их применения нужно знать значение любой из сторон и величину разворота произвольной вершины. Существует четыре способа, позволяющих найти катет с использованием тригонометрических правил:

1. В основе лежит аксиома, что синус находится из отношения противолежащего катета к гипотенузе. Например, пусть известно что длина гипотенузы составляет 100 сантиметров, а вершина A имеет разворот равный 30 градусам. Используя тригонометрические таблицы, можно утверждать, что синус угла A составляет ½. Учитывая преобразованное выражение, находят катет: a = 100 / 2 =50 (см). Таким образом, синус острого угла численно равен отношению одного из катетов, деленного на гипотенузу: sin A = BC/AB.
2. Используется правило, что косинус в прямоугольнике представляет собой отношение прилежащего катета к прямому углу и гипотенузе: cosA = AC/AB. Например, пусть разворот вершины C равен 60 градусам, а гипотенуза равна 100 сантиметрам. Согласно тригонометрической таблице, угол в 60 градусов равен ½. Подставив это значение в формулу, можно найти значение катета: a=cos∠C*a; b=½*100=50 сантиметров.
3. Тангенс угла можно вычислить, разделив значение длины противолежащего катета к прилежащему. Математическая формула этого утверждения имеет вид: tg = BC/AC. Катет многоугольника может быть найден как b = tg * a. Например, известно, что у фигуры один из углов равен 45 градусов, а длина гипотенузы составляет 100 сантиметров. Так как тангенс 45 градусов равен единице, то ответом на задачу будет: a = 1*100 = 100 сантиметров.
4. Котангенс определяется из соотношения прилежащего катета к противолежащему. Фактически это величина, обратная тангенсу: ctg = AC/BC. Например, пусть разворот угла A составляет 30 градусов, а длина катета, находящегося напротив него, равняется 50 сантиметрам. Котангенс 30 градусов соответствует корню из трёх. Подставив в формулу известные данные, можно вычислить неизвестный катет: b =50√3 сантиметров.

Зная, как выглядят тригонометрические формулы и содержание двух теорем, вычислить значение катета можно будет в большинстве поставленных задач.

Типовые примеры

Для решения задач на нахождение катета не нужно обладать какими-то особенными знаниями. Нужно просто внимательно проанализировать условие. Например, пусть известно, что в прямоугольнике один катет длиннее другого на пять сантиметров. При этом площадь фигуры равняется 84 сантиметрам в квадрате. Необходимо определить длины сторон и периметр.

Так как в условии дана площадь, то при решении необходимо отталкиваться от неё. Известно, что площадь прямоугольного треугольника находится по формуле: S = AC*CB/2. Это выражение является частным случаем общей формулы для нахождения площади любого треугольника, где: AC — это высота, а CB — основание. Если принять, что AC равно X, то, согласно условию, длина CB будет составлять x+5.

Исходя из этого, площадь треугольника будет равна: S = (x*(x+5))/2. Подставив вместо S заданное значение, можно получить квадратное уравнение: x2 + 5x — 84 = 0. Решать его лучше методом детерминанта. Корнями уравнения будут -12 и 7. Так как -12 не удовлетворяет условию задачи, то верным ответом будет семь.

Длина второго катета равняется семи сантиметрам. Первого: AC = 7−5 = 2 см. Зная оба катета, по теореме Пифагора можно найти гипотенузу: c = (22 + 72)½ = (4+49)½ = 531/2 = 7,3 см. Найдя длины всех сторон, можно без усилий найти периметр обыкновенным сложением: P = 2+7+7,3 = 16,3 см. Задача решена.

Довольно интересные, но в то же время простые задачи на нахождение сторон и углов при известной длине гипотенузы и значения разворота одной из вершин. Пусть имеется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза BC равняется пяти сантиметрам, а угол между ней и катетом составляет 60 градусов. Нужно определить все остальные стороны и углы.

Так как известна гипотенуза и острый угол, то, воспользовавшись тригонометрическими формулами, можно найти длины катетов: AC=BC*sin60 = 5*(3)^½/2; AB=BC*cos60 = 5/2. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, так как один из них прямой, а второй задан и составляет 60 градусов, то третий находится путём вычитания C = 180 — (90 + 60) = 30.

Катет — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Противоположная прямому углу сторона называется гипотенузой. Для непрямоугольного треугольника катеты не существуют.

Название «катет» происходит от греческого káthetos — перпендикуляр^[1], опущенный, отвесный^[2]. Название также встречается в архитектуре и означает отвес через средину задка ионической капители^[3].

С катетами связаны тригонометрические функции острого угла α:

• синус α — отношение катета, противолежащего углу α, к гипотенузе.
• косинус α — отношение катета, прилежащего углу α, к гипотенузе.
• тангенс  α — отношение катета, противолежащего углу α, к катету прилежащему углу α.
• котангенс α — отношение катета, прилежащего углу α, к катету противолежащему углу α.
• секанс α — отношение гипотенузы к катету прилежащему углу α.
• косеканс α — отношение гипотенузы к катету противолежащему углу α.

Длина катета может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, которая утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

Длина катета равна произведению длины гипотенузы и косинуса прилежащего угла:

Длина катета равна произведению длины гипотенузы и синуса противолежащего угла:

Длина катета равна произведению длины другого катета и тангенса противолежащего угла, относительно искомого катета:

Длина катета равна произведению длины другого катета и котангенса прилежащего угла, относительно искомого катета. Длина катета равна среднему геометрическому длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу:

Квадрат высоты, выходящей из прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

Где

 — катеты

 — гипотенуза

 — угол, противолежащий a

 — угол, противолежащий b

 — проекции катетов a и b на гипотенузу.

С катетами совпадают две из трёх высоты прямоугольного треугольника.

По катету и гипотенузе или по двум катетам можно судить о равенстве двух прямоугольных треугольников.

Вращая прямоугольный треугольник вокруг катета можно получить прямой круговой конус.

См. также

• Гипотенуза
• Треугольник
• Тригонометрия

Примечания

Войти через Google

или

Запомнить меня

Забыли пароль?