Как пишется проекция ускорения - Наука и образование на Pishetsya.top

3.1. Равнопеременное движение по прямой.

3.1.1. Равнопеременное движение по прямой — движение по прямой с постоянным по модулю и направлению ускорением:

3.1.2. Ускорение () — физическая векторная величина, показывающая, на сколько изменится скорость за 1 с.

В векторном виде:

где — начальная скорость тела, vecnu — скорость тела в момент времени t.

В проекции на ось Ox:

где nu_0x — проекция начальной скорости на ось Ox, nu_x — проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t.

Знаки проекций зависят от направления векторов и оси Ox.

3.1.3. График проекции ускорения от времени.

При равнопеременном движении ускорение постоянно, поэтому будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис.):

Значение ускорения: чем дальше от оси времени лежит прямая, тем больше модуль ускорения

3.1.4. Скорость при равнопеременном движении.

В векторном виде:

В проекции на ось Ox:

Для равноускоренного движения:

Для равнозамедленного движения:

3.1.5. График проекции скорости в зависимости от времени.

График проекции скорости от времени — прямая линия.

Направление движения: если график (или часть его) находятся над осью времени, то тело движется в положительном направлении оси Ox.

Значение ускорения: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль ускорения; где Deltanu — изменение скорости за время

Пересечение с осью времени: если график пересекает ось времени, то до точки пересечения тело тормозило (равнозамедленное движение), а после точки пересечения начало разгоняться в противоположную сторону (равноускоренное движение).

3.1.6. Геометрический смысл площади под графиком в осях

Площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox — время — это путь, пройденный телом.

На рис. 3.5 нарисован случай равноускоренного движения. Путь в данном случае будет равен площади трапеции:

(3.9)

3.1.7. Формулы для расчета пути

Равноускоренное движение	Равнозамедленное движение
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Равноускоренное движение

Равнозамедленное движение

S=nu_0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби

(3.10)

S=nu_0 t минус дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби

(3.12)

S= дробь: числитель: nu в квадрате минус nu_0 в квадрате , знаменатель: 2a конец дроби

(3.11)

S= дробь: числитель: nu_0 в квадрате минус nu в квадрате , знаменатель: 2a конец дроби

(3.13)

S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка nu_0 плюс nu правая круглая скобка t

(3.14)

Все формулы, представленные в таблице, работают только при сохранении направления движения, то есть до пересечения прямой с осью времени на графике зависимости проекции скорости от времени.

Если же пересечение произошло, то движение проще разбить на два этапа:

до пересечения (торможение):

После пересечения (разгон, движение в обратную сторону)

В формулах выше — время от начала движения до пересечения с осью времени (время до остановки), S_1 — путь, который прошло тело от начала движения до пересечения с осью времени, t_2 — время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, S_2 — путь, который прошло тело в обратном направлении за время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, — модуль вектора перемещения за все время движения, L — путь, пройденный телом за все время движения.

3.1.8. Перемещение за -ую секунду.

За время тело пройдет путь:

За время t=nt_0 тело пройдет путь:

Тогда за -ый промежуток t_0 тело пройдет путь:

За промежуток t_0 можно принимать любой отрезок времени. Чаще всего t_0=1 с.

Если nu_0=0, то

Тогда за 1-ую секунду тело проходит путь:

За 2-ую секунду:

За 3-ю секунду:

и т. д.

Если внимательно посмотрим, то увидим, что и т. д.

Таким образом, приходим к формуле:

Словами: пути, проходимые телом за последовательные промежутки времени соотносятся между собой как ряд нечетных чисел, и это не зависит от того, с каким ускорением движется тело. Подчеркнем, что это соотношение справедливо при nu_0=0.

3.1.9. Уравнение координаты тела при равнопеременном движении

Уравнение координаты

Знаки проекций начальной скорости и ускорения зависят от взаимного расположения соответствующих векторов и оси Ox.

Для решения задач к уравнению необходимо добавлять уравнение изменения проекции скорости на ось:

3.2. Графики кинематических величин при прямолинейном движении

3.3. Свободное падение тела

Под свободным падением подразумевается следующая физическая модель:

1) Падение происходит под действием силы тяжести:

2) Сопротивление воздуха отсутствует (в задачах иногда пишут «сопротивлением воздуха пренебречь»);

3) Все тела, независимо от массы падают с одинаковым ускорением (иногда добавляют — «независимо от формы тела», но мы рассматриваем движение только материальной точки, поэтому форма тела уже не учитывается);

4) Ускорение свободного падения направлено строго вниз и на поверхности Земли равно (в задачах часто принимаем для удобства подсчетов);

3.3.1. Уравнения движения в проекции на ось Oy

В отличии от движения по горизонтальной прямой, когда далеко не всех задач происходит смена направления движения, при свободном падении лучше всего сразу пользоваться уравнениями, записанными в проекциях на ось Oy.

Уравнение координаты тела:

Уравнение проекции скорости:

Как правило, в задачах удобно выбрать ось Oy следующим образом:

Ось Oy направлена вертикально вверх;

Начало координат совпадает с уровнем Земли или самой нижней точкой траектории.

При таком выборе уравнения и перепишутся в следующем виде:

3.4. Движение в плоскости Oxy.

Мы рассмотрели движение тела с ускорением вдоль прямой. Однако этим равнопеременное движение не ограничивается. Например, тело, брошенное под углом к горизонту. В таких задачах необходимо учитывать движение сразу по двум осям:

Или в векторном виде:

И изменение проекции скорости на обе оси:

3.5. Применение понятия производной и интеграла

Мы не будем приводить здесь подробное определение производной и интеграла. Для решения задач нам понадобятся лишь небольшой набор формул.

Производная:

где A, B и то есть постоянные величины.

Интеграл:

Теперь посмотрим, как понятие производной и интеграла применимо к физическим величинам. В математике производная обозначается «’», в физике производная по времени обозначается «∙» над функцией.

Скорость:

то есть скорость является производной от радиус-вектора.

Для проекции скорости:

Ускорение:

то есть ускорение является производной от скорости.

Для проекции ускорения:

Таким образом, если известен закон движения то легко можем найти и скорость и ускорение тела.

Теперь воспользуемся понятием интеграла.

Скорость:

то есть, скорость можно найти как интеграл по времени от ускорения.

Радиус-вектор:

то есть, радиус-вектор можно найти, взяв интеграл от функции скорости.

Таким образом, если известна функция то легко можем найти и скорость, и закон движения тела.

Константы в формулах определяются из начальных условий — значения x_0, y_0 и nu_0x, nu_0y в момент времени t_0.

3.6. Треугольник скоростей и треугольник перемещений

3.6.1. Треугольник скоростей

В векторном виде при постоянном ускорении закон изменения скорости имеет вид (3.5):

Эта формула означает, что вектор vecnu равен векторной сумме векторов и vec at. Векторную сумму всегда можно изобразить на рисунке (см. рис.).

В каждой задаче, в зависимости от условий, треугольник скоростей будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.

3.6.2. Треугольник перемещений

В векторном виде закон движения при постоянном ускорении имеет вид:

При решении задачи можно выбирать систему отсчета наиболее удобным образом, поэтому не теряя общности, можем выбрать систему отсчета так, что то есть начало системы координат помещаем в точку, где в начальный момент находится тело. Тогда

то есть вектор равен векторной сумме векторов и Изобразим на рисунке (см. рис.).

Как и в предыдущем случае в зависимости от условий треугольник перемещений будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.

Источник

Как найти ускорение — определение и формулы расчета в физике

Содержание:

Что такое ускорение
- Единица измерения
Как рассчитать ускорение: формулы
- Для прямолинейного движения
- Для равноускоренного движения
- Для равнозамедленного движения
- Нахождение ускорения через массу и силу
Мгновенное ускорение
Максимальное ускорение
Среднее ускорение
Проекция ускорения

Что такое ускорение

Ускорение (overrightarrow а) — векторная величина в физике, характеризующая быстроту изменения скорости тела.

Ускорение является векторной величиной, показывающей, на сколько изменяется вектор скорости тела при его движении за единицу времени.

Единица измерения

В СИ (системе интернациональной) ускорение измеряется: ( begin{bmatrix}aend{bmatrix}=frac м{с^2})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как рассчитать ускорение: формулы

Для прямолинейного движения

Прямолинейное движение — механическое движение, при котором траектория тела — прямая линия.

В этом случае ускорение находится по следующим формулам:

(a;=;frac{mathrm V}t)

(a;=;frac{2S}{t^2})

(a;=;frac{V^2}{2S})

Где (a) — достигнутое ускорение тела, (S) — пройденный путь (расстояние), (t) — затраченное время.

Время отсчитывается от начала движения тела.

При прямолинейном равномерном движении ускорение по модулю равняется нулю.

Для равноускоренного движения

Равноускоренное движение — прямолинейное движение с постоянным положительным ускорением (разгон).

При таком виде движения ускорение определяется по формуле: (a;=;frac{V-V_0}t), где (V_0) и (V) начальная и конечная скорости соответственно, (a) — достигнутое ускорение тела, (t) — затраченное время.

Для равнозамедленного движения

Равнозамедленное движение — прямолинейное движение с постоянным отрицательным ускорением (замедление).

При таком виде движения ускорение находим по формуле: (a;=-;frac{V-V_0}t), где V₀ и V начальная и конечная скорости соответственно, a — достигнутое ускорение тела, t — затраченное время.

Нахождение ускорения через массу и силу

Принцип инерции Галилея:

Если не действовать на тело, то его скорость не будет меняться.

Система отсчета (СО) — система координат, точка отсчета и указание начала отсчета времени.

Инерциальная система отсчета (ИСО) — это СО, в которой наблюдается движение по инерции (соблюдается принцип инерции).

II закон Ньютона:

В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

или

(overrightarrow a=frac{overrightarrow F}m)

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени — это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Другими словами — это ускорение, которое развивает тело за максимально короткий отрезок времени.

Выражается по формуле:

( overrightarrow a=lim_{trightarrow0}frac{triangleoverrightarrow V}{triangle t})

Максимальное ускорение

(a_{max}=omega v_{max},) где (a_{max}) — максимальное ускорение, (omega) — круговая (угловая, циклическая) частота, (v_{max}) — максимальная скорость.

Среднее ускорение

Среднее ускорение — это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло.

(overrightarrow{a_{ср}}=frac{triangleoverrightarrow V}{triangle t}), где (overrightarrow{a_{ср}}) — среднее ускорение, (triangleoverrightarrow V) — изменение скорости, ( triangle t) — изменение времени.

Проекция ускорения

Определение проекции ускорения на ось (х):

(a_x=frac{V_x-V_{0x}}t), где где (a_x) — проекция ускорения на ось (х), (V_x) — проекция текущей скорости на ось (х), (V_{0x}) — проекция начальной скорости на ось (х), (t) или (triangle t) — промежуток времени, за который произошло изменение проекции скорости.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 1.93 (Голосов: 30)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Рассмотрим движение тела из точки (A) в точку (B) (рис. (1)). Траектория (AB) является криволинейной.

Введём понятие «средняя скорость».

На рисунке (1) показаны вектора перемещений тела (Delta{vec{r_3}}), (Delta{vec{r_2}}) и (Delta{vec{r_1}}) за различные сокращающиеся промежутки времени (Delta{t_3}), (Delta{t_2}) и (Delta{t_1}).

Рис. (1). Перемещения тела при криволинейном движении

Средняя скорость равна отношению перемещения за конечный промежуток времени:

Средняя скорость является векторной величиной:

направление средней скорости υ ср→↑↑Δr→ находится согласно математической формуле определения данной физической величины (сравни математическое выражение (vec{a}) (=) (frac{vec{b}}{2}) и формулу средней скорости);
числовое значение средней скорости (модуль, проекции на координатные оси) определяется согласно геометрическим правилам работы с векторами;
физические понятия отличаются от математических понятий наличием единиц измерения ([(v_{ср})] (=) [(frac{м}{с})]).

Участки траектории (AB), (AD) и (AE) (рис. (1)) характеризуются, соответственно, средними скоростями:

(vec{v_{ср3}}), (vec{v_{ср2}}), (vec{v_{ср1}}).


(vec{v_{ср3}}) = (frac{Delta{vec{r_3}}}{Delta{t_3}})	(vec{v_{ср2}}) = (frac{Delta{vec{r_2}}}{Delta{t_2}})	(vec{v_{ср1}}) = (frac{Delta{vec{r_1}}}{Delta{t_1}})

Если уменьшать неограниченно промежуток времени (Delta{t}), то быстрота движения тела характеризуется понятием «мгновенная скорость» (или «скорость»).

Математическая запись уменьшения промежутка времени:

Δt→0

(в математике существует понятие «предел», символ данного понятия — «lim»).

Физический смысл принципа уменьшения промежутка времени: на определённом этапе данной процедуры значения средней скорости будут приблизительно одинаковыми и определение физического понятия «средняя скорость» изменится на физическое понятие «мгновенная скорость»

υ→=limΔt→0υ ср→=limΔt→0Δr→Δt

Мгновенная скорость является векторной величиной:

вектор мгновенной скорости (далее — скорости) направлен по касательной к траектории в исследуемой точке (проверь, как на рисунке (1) «хорды — перемещения (Delta{vec{r_3}}), (Delta{vec{r_2}}) и (Delta{vec{r_1}})» при уменьшении промежутков времени (Delta{t_3}), (Delta{t_2}) и (Delta{t_1}) изображаются касательными, которые соответствуют векторам скоростей (vec{v_3}), (vec{v_2}), (vec{v_1})).

На рисунке (1) тело движется из точки (E) в точку (D), изменяя скорость от (v_2) до (v_3). Параллельным переносом перенесём вектор (vec{v_{3}}) к (vec{v_{2}}), тогда изменение скорости за промежуток времени (Delta{t}) равно разности векторов

((vec{v_{3}})(-)(vec{v_{2}})), что на рисунке (1) соответствует вектору ускорения (vec{a_{2}}).

Среднее ускорение равно отношению изменения скорости к промежутку времени:

Примечание:

1) в физических задачах при написании символа aср → индекс «ср», как правило, не прописывается;

2) в ситуации прямолинейного неравномерного движения используется термин «ускорение».

Характеристики физического понятия «среднее ускорение»:

направление вектора среднего ускорения определяется согласно правилу aср→↑↑Δυ→;
числовое значение ускорения (модуль, проекции на координатные оси) определяется согласно геометрическим правилам работы с векторами;
единица измерения ([(a_{ср})] (=) [(frac{м}{с^2})]).

Участки траектории (AB), (AD) и (AE) (рис. (1)) характеризуются, соответственно, средними ускорениями (vec{a_{3}}), (vec{a_{2}}), (vec{a_{1}}).


(vec{a_{3}}) (=) (frac{Delta{vec{v_3}}}{Delta{t_3}})	(vec{a_{2}}) (=) (frac{Delta{vec{v_2}}}{Delta{t_2}})	(vec{a_{1}}) (=) (frac{Delta{vec{v_1}}}{Delta{t_1}})

Если уменьшать неограниченно промежуток времени (Delta{t}), то изменение скорости движения тела в конкретный момент времени характеризуется физическим понятием «мгновенное ускорение».

Вектор мгновенного ускорения при движении тела по криволинейной траектории представляет векторную сумму компонентов данного вектора, которые направлены по касательной и нормали (перпендикуляр к касательной).

Векторное и скалярное уравнения скорости материальной точки

1) Общий вид:

векторное уравнение — (vec{v}) (=) (vec{v}(t));
числовые (скалярные) уравнения — (v_x) (=) (v_x(t)), (v_y) (=) (v_y(t)), (v_z) (=) (v_z(t)).

2) Прямолинейное равноускоренное движение:

векторное уравнение — (vec{v}(t)) (=) (vec{v}{_0}) (+) (vec{a}(t — t_0)),

где (vec{v}{_0}) — скорость тела в начальный момент времени ({t_0}), (vec{v}(t)) — скорость тела в произвольный момент

времени (t);

числовые (скалярные) уравнения — (v_x(t)) (=) (v_{0x}) (+) (a_x(t — t_0)), (v_y(t)) (=) (v_{0y}) (+) (a_y(t — t_0)),

(v_z(t)) (=) (v_{0z}) (+) (a_z(t — t_0)).

Графическое изображение зависимости проекции скорости от времени ({v_х}(t))

При движении тела с постоянным ускорением проекция скорости изменяется по линейному закону в зависимости от времени (t): (v_x(t)) (=) (v_{0x}) (+) (a_x(t — t_0)) (рис. (2)).

Рис. (2). График зависимости проекции скорости от времени

Значение проекции ускорения по графику определяется как тангенс угла: (a_x) (=) (tgα) (=) (frac{Delta{v}}{Delta{t}}).

Перемещение

Проекции перемещений при равнопеременном движении в момент времени (t) определяются формулами:

(s_x(t)=x(t) — x_0), (s_y(t)=y(t) -y_0), (s_z(t)=z(t) — z_0).

(A)

(B)

Рис. (3). Определение модуля и проекций перемещения по графику зависимости проекции скорости от времени

Модуль и проекции перемещения тела определяются графическим способом с

использованием графика зависимости (v_x(t)).

Рисунок (3) (A) ((v_0) (=) (0))

Рисунок (3) (B) ((v_0) (≠) (0))

Модуль перемещения определяется как площадь прямоугольного треугольника (ABC) с катетами

Модуль перемещения определяется как площадь трапеции (ABCD) с основаниями (d) (=) (v_0), (b) (=) (v_0+at) и высотой (h) (=) (t).

S=12b+dh⇒S=υ0⋅t+a⋅t22

Проекция перемещения: (s_x) (=) (S)

Примечание: если график проекции скорости состоит из участков, где площадь трапеции имеет отрицательное значение (например, (s_{x1}) (>) (0), (s_{x2}) (<) (0)), то модуль перемещения тела равен:

s=sx1+sx2

Источники:

Рис. 1. Перемещения тела при криволинейном движении. © ЯКласс.

Рис. 2. График зависимости проекции скорости от времени. © ЯКласс.

Рис. 3. Определение модуля и проекций перемещения по графику зависимости проекции скорости от времени. © ЯКласс.

Источник

Проекции скорости и ускорения

Для выполнения
расчетов скоростей и ускорений необходимо
переходить от записи уравнений в
векторной форме к записи уравнений в
алгебраической форме.

Векторы начальной
скорости
и ускорениямогут иметь различные направления,
поэтому переход от векторной записи
уравнений к алгебраической может
оказаться весьма трудоемким.

Известно, что
проекция суммы двух векторов на какую-либо
координатную ось равна сумме проекций
слагаемых векторов на ту же ось.

Поэтому для
нахождения проекции
вектора скоростина произвольную ось OX нужно найти
алгебраическую сумму проекций векторовина ту же ось.

Проекцию
вектора на ось считают положительной,
если от проекции начала к проекции
конца вектора нужно идти по направлению
оси, и отрицательной в противоположном
случае.

График скорости

Из уравнения
следует, что графиком зависимости
проекции скорости равноускоренного
движения от времени является прямая.
Если проекция начальной скорости на
ось OX равна нулю, то прямая проходит
через начало координат.

Основные
виды движения

а_n= 0, a_
= 0 –
прямолинейное равномерное движение;
а_n= 0, a_
= const
– прямолинейное равнопеременное
движение;
а_n= 0, a_

0 – прямолинейное
с переменным ускорением;
а_n= const,
a_
= 0 – равномерное
по окружности
а_n= const,
a_
= const
– равнопеременное по окружности
а_n
const,
a_

const
– криволинейное с переменным ускорением.

Вращательное движение твердого тела.

Вращательное
движение твердого тела относительно
неподвижной оси
– движение, при котором все точки
твердого тела описывают окружности,
центры которых лежат на одной прямой,
называемой осью
вращения.

Равномерное движение по окружности

Рассмотрим наиболее
простой вид вращательного движения, и
уделим особое внимание центростремительному
ускорению.

При равномерном
движении по окружности значение скорости
остается постоянным, а направление
вектора скорости
изменяется в процессе движения.

За
интервал времени ∆t
тело проходит путь
.
Этот путь равен длине дугиAB.
Векторы скоростей
ив точкахA
и B направлены
по касательным к окружности в этих
точках, а угол 
между векторами
иравен углу между радиусамиOA
и OB.
Найдем разность векторов
и определим отношение изменения
скорости к∆t:

Из подобия
треугольников OAB и BCD следует

Если интервал
времени ∆t
мал, то мал и угол .
При малых значениях угла 
длина хорды AB примерно равна длине дуги
AB, т.е.
.
Т.к.,,
то получаем

Поскольку
,
то получаем

Период и частота

Промежуток времени,
за который тело совершает полный оборот
при движении по окружности, называется
периодам
обращения
(Т).
Т.к. длина окружности равна 2R,
период обращения при равномерном
движении тела со скоростью v
по окружности радиусом R
равняется:

Величина, обратная
периоду обращения, называется частотой.
Частота показывает, сколько оборотов
по окружности совершает тело в единицу
времени:

(с^-1)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
01.06.2015304.13 Кб30KP.doc
#
#
#
#
#
#
#
#

Источник

Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой линии с постоянным ускорением (a=const).
Ускорение — векторная физическая величина, показывающая изменение скорости тела за 1 с. Обозначается как a.
Единица измерения ускорения — метр в секунду в квадрате (м/с²).
Акселерометр — прибор для измерения ускорения.

Формула ускорения

Ускорение тела равно отношению изменения вектора скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

v — скорость тела в данный момент времени, v₀ — скорость тела в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Пример №1. Состав тронулся с места и через 20 секунд достиг скорости 36 км/ч. Найти ускорение его разгона.

Сначала согласуем единицы измерения. Для этого переведем скорость в м/с: умножим километры на 1000 и поделим на 3600 (столько секунд содержится в 1 часе). Получим 10 м/с.

Начальная скорость состава равно 0 м/с, так как изначально он стоял на месте. Имея все данные, можем подставить их в формулу и найти ускорение:

Проекция ускорения

Проекция ускорения на ось ОХ

v_x — проекция скорости тела в данный момент времени, v_0x — проекция скорости в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Знак проекции ускорения зависит от того, в какую сторону направлен вектор ускорения относительно оси ОХ:

Если вектор ускорения направлен в сторону оси ОХ, то его проекция положительна.
Если вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению оси ОХ, его проекция отрицательная.

При решении задач на тему равноускоренного прямолинейного движения проекции величин можно записывать без нижнего индекса, так как при движении по прямой тело изменяет положение относительно только одной оси (ОХ). Их обязательно нужно записывать, когда движение описывается относительно двух и более осей.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения не всегда совпадает с направлением вектора скорости!

Равноускоренным движением называют такое движение, при котором скорость за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела совпадают (а↑↑v).

Равнозамедленное движение — частный случай равноускоренного движения, при котором скорость за одинаковые промежутки времени уменьшается на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела противоположны друг другу (а↑↓v).

Пример №2. Автомобиль сначала разогнался, а затем затормозил. Во время разгона направления векторов его скорости и ускорения совпадают, так как скорость увеличивается. Но при торможении скорость уменьшается, потому что вектор ускорения изменил свое направление в противоположную сторону.

График ускорения

График ускорения — график зависимости проекции ускорения от времени. Проекция ускорения при равноускоренном прямолинейном движении не изменяется (a_x=const). Графиком ускорения при равноускоренном прямолинейном движении является прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость положения графика проекции ускорения относительно оси ОХ от направления вектора ускорения:

Если график лежит выше оси времени, движение равноускоренное (направление вектора ускорения совпадает с направлением оси ОХ). На рисунке выше тело 1 движется равноускорено.
Если график лежит ниже оси времени, движение равнозамедленное (вектор ускорения направлен противоположно оси ОХ). На рисунке выше тело 2 движется равнозамедлено.

Если график ускорения лежит на оси времени, движение равномерное, так как ускорение равно 0. Скорость в этом случае — величина постоянная.

Чтобы сравнить модули ускорений по графикам, нужно сравнить степень их удаленности от оси времени независимо от того, лежат они выше или ниже нее. Чем дальше от оси находится график, тем больше его модуль. На рисунке график 2 находится дальше от оси времени по сравнению с графиком один. Поэтому модуль ускорения тела 2 больше модуля ускорения тела 1.

Пример №3. По графику проекции ускорения найти участок, на котором тело двигалось равноускорено. Определить ускорение в момент времени t₁= 1 и t₂= 3 с.

В промежуток времени от 0 до 1 секунды график ускорения рос, с 1 до 2 секунд — не менялся, а с 2 до 4 секунд — опускался. Так как при равноускоренном движении ускорение должно оставаться постоянным, ему соответствует второй участок (с 1 по 2 секунду).

Чтобы найти ускорение в момент времени t, нужно мысленно провести перпендикулярную прямую через точку, соответствующую времени t. От точки пересечения с графиком нужно мысленно провести перпендикуляр к оси проекции ускорения. Значение точки, в которой пересечется перпендикуляр с этой осью, покажет ускорение в момент времени t.

В момент времени t₁= 1с ускорение a = 2 м/с². В момент времени t₂= 3 ускорение a = 0 м/с².

Задание EF18774

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
Определить величины, которые характеризуют такое движение.
Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

перемещение и путь;
скорость;
ускорение.

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

Ответ: 24

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF17992

Начальная скорость автомобиля, движущегося прямолинейно и равноускоренно, равна 5 м/с. После прохождения расстояния 40 м его скорость оказалась равной 15 м/c. Чему равно ускорение автомобиля?

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Записать формулу, связывающую известные из условия задачи величины.
Выразить из формулы искомую величину.
Вычислить искомую величину, подставив в формулу исходные данные.

Решение

Запишем исходные данные:

Начальная скорость v₀ = 5 м/с.
Конечная скорость v = 15 м/с.
Пройденный путь s = 40 м.

Формула, которая связывает ускорение тела с пройденным путем:

Так как скорость растет, ускорение положительное, поэтому перед ним в формуле поставим знак «+».

Выразим из формулы ускорение:

Подставим известные данные и вычислим ускорение автомобиля:

Ответ: 2,5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF18202

Внимательно прочитайте текст задания и выберите верный ответ из списка. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела v_x от времени.

Какой из указанных ниже графиков совпадает с графиком зависимости от времени проекции ускорения этого тела a_x в интервале времени от 6 с до 10 с?

Алгоритм решения

Охарактеризовать движение тела на участке графика, обозначенном в условии задачи.
Вычислить ускорение движение тела на этом участке.
Выбрать график, который соответствует графику зависимости от времени проекции ускорения тела.

Решение

Согласно графику проекции скорости в интервале времени от 6 с до 10 с тело двигалось равнозамедленно. Это значит, что проекция ускорения на ось ОХ отрицательная. Поэтому ее график должен лежать ниже оси времени, и варианты «а» и «в» заведомо неверны.

Чтобы выбрать между вариантами «б» и «г», нужно вычислить ускорение тела. Для этого возьмем координаты начальной и конечной точек рассматриваемого участка:

t₁ = 6 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 0 м/с.
t₂ = 10 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = –10 м/с.

Используем для вычислений следующую формулу:

Подставим в нее известные данные и сделаем вычисления:

Этому значению соответствует график «г».

Ответ: г

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF18027

На графике приведена зависимость проекции скорости тела от времени при прямолинейном движении по оси х. Определите модуль ускорения тела.

Алгоритм решения

Записать формулу ускорения.
Записать формулу для вычисления модуля ускорения.
Выбрать любые 2 точки графика.
Определить для этих точек значения времени и проекции скорости (получить исходные данные).
Подставить данные формулу и вычислить ускорение.

Решение

Записываем формулу ускорения:

По условию задачи нужно найти модуль ускорения, поэтому формула примет следующий вид:

Выбираем любые 2 точки графика. Пусть это будут:

t₁ = 1 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 15 м/с.
t₂ = 2 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = 5 м/с.

Подставляем данные формулу и вычисляем модуль ускорения:

Ответ: 10

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алиса Никитина | Просмотров: 12.3k

Источник

Равноускоренное прямолинейное движение. Ускорение

Равноускоренное движение
Ускорение
Уравнение скорости и график скорости при равноускоренном прямолинейном движении
Определение пути и перемещения по графику скорости
Задачи

п.1. Равноускоренное движение

Если тело начинает двигаться из состояния покоя, оно набирает скорость не мгновенно, а в течение некоторого времени. Аналогично происходит при торможении: тело останавливается не сразу, а теряя скорость постепенно.

Движение, во время которого скорость тела за любые равные промежутки времени увеличивается на одну и ту же величину, называют равноускоренным.

Примеры равноускоренного движения:

скатывание велосипеда с горки, скатывание санок с горки;
старт и торможение автомобиля, автобуса, трамвая, поезда;
падение на землю камня, ракеты, метеорита.

Это интересно
Время разгона от 0 до 100 км/ч – одна из основных характеристик современных автомобилей.

п.2. Ускорение

Ускорение – это векторная величина, которая равна отношению изменения скорости тела к интервалу времени, за которое это изменение произошло: $$ overrightarrow{a}=frac{overrightarrow{v}-overrightarrow{v_0}} {t} $$ где (overrightarrow{v_0}) — начальная скорость тела, (overrightarrow{v}) — скорость тела в момент времени (t).

В системе СИ (см. §2 данного справочника) скорость измеряется в метрах в секунду, а время – в секундах. Поэтому:

Единицей ускорения в системе СИ является метр на секунду в квадрате (1 м/с²) – ускорение равноускоренного прямолинейного движения, при котором тело за 1 с увеличивает скорость на 1 м/с.

При описании прямолинейного движения мы переходим от векторов к проекциям на ось ОХ (см. §8 данного справочника).

Назовем проекцией вектора ускорения (overrightarrow{a}) на параллельную ему ось координат OX величину (a_x=pm|overrightarrow{a}|=pm a).
Знак проекции определяется следующим правилом:

если направление вектора (overrightarrow{a}) совпадает с направлением оси OX, то (a_x=agt 0)
если направление вектора (overrightarrow{a}) противоположно направлению оси OX, то (a_x=-alt 0)

При равноускоренном прямолинейном движении проекция ускорения равна: $$ a_x=frac{v_x-v_{0x}}{t} $$ где (v_{0x}) — проекция начальной скорости, (v_x) — проекция скорости в момент времени (t).

п.3. Уравнение скорости и график скорости при равноускоренном прямолинейном движении

Для проекции скорости на ось ОХ в произвольный момент времени можем записать: $$ v_x(t)=v_{0x}+a_x t $$ Сравним полученное уравнение с уравнением прямой (y(x)=kx+b ) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).
В уравнении скорости роль углового коэффициента (k) играет проекция ускорения (a_x), а роль свободного члена (b) – начальная скорость (v_{0x}).

В осях (t) и (v) график (v_x(t)=v_{0x}+a_x t) является прямой.
Эта прямая:

возрастает, если (a_xgt 0)
убывает, если (a_xlt 0)
постоянна (параллельна оси (t)), если (a_x=0)

Пример построения графика скорости
1-й участок пути. Пусть автомобиль начал движение из состояния покоя с ускорением 4 м/с². Направим ось ОХ в направлении ускорения и получим уравнение скорости: $$ v_{0x}=0, a_x=4frac{text{м}}{c^2}, v_x(t)=0+4t=4t $$ Через 5 с скорость автомобиля станет равной (v_x(5)=4cdot 5=20) м/с.
2-й участок пути. Пусть автомобиль, набрав эту скорость, проехал с ней без ускорения в течение 10 с. На этом участке уравнение скорости: $$ a_{x}=0, v_x(t)=20frac{text{м}}{c}, 5 cleq tlt 15 c $$ Скорость не меняется, автомобиль движется прямолинейно равномерно.
3-й участок пути. Наконец, на последнем участке пути, автомобиль тормозил с ускорением 5 м/с² до полной остановки. Тогда уравнение скорости на этом участке: $$ v_{0x}=20frac{text{м}}{c}, a_x=5frac{text{м}}{c^2}, v_x(t)=20-5t $$ Проекция ускорения при торможении отрицательна. Скорость станет равна 0 через 4 с после начала торможения, автомобиль остановится.

Опишем полностью движение на всех участках: $$ v_x(t)= begin{cases} 4t, 0leq tlt 5\ 20, 5leq tlt 15\ 20-5t, 15leq tleq 19 end{cases} $$ И построим график:

Участок AB соответствует разгону автомобиля от 0 до 20 м/с, участок BC — равномерному движению со скоростью 20 м/с, участок CD — торможению от 20 м/с до 0.

п.4. Определение пути и перемещения по графику скорости

В §10 данного справочника мы рассматривали неравномерное прямолинейное движение, которое можно разбить на отдельные равномерные участки. Для такого движения путь равен сумме модулей площадей участков, определенных по графику скорости. А перемещение также равно сумме площадей, но уже с учетом знака.
Этот подход можно расширить на любое прямолинейное движение.

Пусть график скорости при прямолинейном движении разбит на (n) участков, площади которых легко определить (треугольники, прямоугольники, трапеции). Тогда:
Весь пройденный путь равен сумме модулей площадей всех участков: $$ s=|s_1|+|s_2|+…+|s_n| $$ Величина перемещения по оси ОХ равна сумме площадей всех участков с учетом знака: $$ triangle x=s_1+s_2+…s_n $$ Конечная координата равна: (x_к=x_0+triangle x)

Пример определения пути и перемещения по графику скорости
Для построенного выше графика скорости автомобиля получаем следующие участки:
1) ΔABE, его площадь равна $$ s_1=frac12 AEcdot BE=frac12cdot 5cdot 20=50 (м) $$ 2) прямоугольник EBCF, его площадь равна $$ s_2=EFcdot BE=10 cdot 20=200 (м) $$ 3) ΔCFD, его площадь равна $$ s_2=frac12 FDcdot GF=frac12cdot 4cdot20=40 (м) $$ Весь пройденный путь: $$ s=s_1+s_2+s_3=50+200+40=290 (м) $$ Скорость автомобиля все время оставалась положительной (направление движения не менялось), поэтому величина перемещения равна пройденному пути: $$ triangle x=s=290 (м) $$

п.5. Задачи

Задача 1. За 1 мин автобус увеличил скорость с 28,8 км/ч до 72 км/ч. Найдите его ускорение, постройте график зависимости скорости от времени.

Дано:
(t=1 мин=60 с)
(v_0=28,8 км/ч=8 м/с)
(v=72 км/ч=20 м/с)
__________________
(a-?)
Как перевести км/ч в м/с – см. §7 данного справочника.

Направим ось ОХ по направлению движения автобуса. Автобус направления движения не меняет, и проекции ускорения и скорости все время положительны и по величине равны значениям величин: $$ a_x=a, v_x=v $$ Поэтому ускорение равно: $$ a=frac{v-v_0}{t} $$ Получаем: $$ a=frac{20-8}{60}=0,2 left(frac{м}{c^2}right) $$ Уравнение зависимости скорости от времени: begin{gather*} v(t)=v_0+at\ v(t)=8+0,2t end{gather*} График:

Ответ: 0,2 м/с²

Задача 2. Поезд двигался прямолинейно равномерно со скоростью 18 км/ч, а в процессе торможения – равноускоренно и остановился через 10 с. Найдите модуль ускорения. Постройте график зависимости скорости от ускорения, найдите пройденный поездом путь за все время торможения.

Дано:
(v_0=18 км/ч=5 м/с)
(v=0)
(t=10 с)
__________________
(a, s-?)
Направим ось ОХ по направлению скорости (v_0). Тогда проекция ускорения: $$ a_x=frac{v-v_0}{t}, a_x=frac{0-5}{10}=-0,5 (м/с^2) $$ Проекция при торможении отрицательна.
Величина (модуль) ускорения: $$ a=|a_x|=0,5 м/c^2 $$ Зависимость скорости от времени: begin{gather*} v(t)=v_0+a_x t\ v(t)=5-0,5t end{gather*} График:

Пройденный путь равен площади треугольника ΔABC: $$ s=frac12 ACcdot BC=frac12cdot 5cdot 10=25 (м) $$ Ответ: 0,5 м/с²; 25 м

Задача 3*. С каким ускорением двигался автомобиль, если его скорость выросла с 36 км/ч до 72 км/ч на пути длиной 600 м? Постройте график зависимости скорости от времени, найдите время движения и путь с помощью графика, проверьте полученное значение пути.

Дано:
(v_0=36 км/ч=10 м/с)
(v=72 км/ч=20 м/с)
(s=600 м)
__________________
(a-?, t-?)
Ускорение равно: (a=frac{v-v_0}{t}). Откуда время равно: (t=frac{v-v_0}{a})
Средняя скорость на всем пути: (v_{cp}=frac{v_0+v}{2})
Весь путь: $$ s=v_{cp}t=frac{v_0+v}{2}cdotfrac{v-v_0}{a}=frac{v^2-v_0^2}{2a} $$ Значит, ускорение равно: $$ a=frac{v^2-v_0^2}{2s} $$ Подставляем: $$ a=frac{20^2-10^2}{2cdot 600}=0,25 left(frac{м}{c^2}right) $$ Уравнение зависимости скорости от времени: begin{gather*} v(t)=v_0+at\ v(t)=10+0,25t end{gather*} График:

Скорость достигает значения (v=20 м/с) в момент времени (t=40 с).
Значит, время движения 40 с.

Путь по графику скорости равен площади четырехугольника ABCD. begin{gather*} S_{ABCD}=S_{ABE}+S_{AECD}=frac12 AEcdot EB+AEcdot AD=frac12cdot 40cdot 10+40cdot 10=200+400=600 (м)\ s=600 м end{gather*} Найденное значение пути совпадает с условием задачи. Все параметры движения найдены верно.
Ответ: 0,25 м/с²; 40 c

Источник

Содержание:

Координатный способ определения движения точки:

При координатном способе определения движения точки должны быть даны уравнения движения, т. е. заданы координаты точки как функции времени:

Задание движения точки в прямоугольных координатах

Как известно из курса аналитической геометрии, положение точки M в пространстве может быть определено положением ее проекций P, Q и R на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 84), называемые осями координат.

Рис. 84

Положение точки P на оси Ox вполне определяют абсциссой х. Совершенно так же положение точек Q и R определяют ординатой у и аппликатой z.

Если точка M движется относительно осей xOyz, то проекции Р, Q и R перемещаются по осям и координаты точки M изменяются.

Для определения движения точки M нужно знать ее координаты для каждого мгновения, выразить их в функциях времени.

x = x(t), (58′)
y = y(t), (58″)
z = z(t), (58″‘)

Эти функции непрерывны, так как точка не может из одного положения перейти в другое, минуя промежуточные. Они должны быть однозначны, так как точка занимает в пространстве в каждое мгновение только одно положение.

Соотношения (58) называют кинематическими уравнениями движения точки в прямоугольных координатах, а способ определения движения точки посредством соотношений (58) называют координатным способом определения движения точки. Это название неточно, потому что, кроме прямолинейных прямоугольных координат, существует множество других координатных систем.

Если траектория точки лежит в одной плоскости, то движение точки определяют двумя уравнениями в системе координат xОy: x=x(t), y=y(t).

Следовательно, при координатном способе задания движения точки в пространстве нужно задать ее три координаты, а на плоскости—две координаты как функции времени. Если точка движется прямолинейно, то, приняв прямую, по которой она движется, за ось абсцисс, мы определим движение точки одним уравнением

x = x(t).

Если движение точки задано в координатной форме, то для определения ее траектории надо из уравнений движения исключить время

Уравнение траектории

Можно определить траекторию точки, если в уравнениях движения (58) давать аргументу t различные значения и, вычислив соответствующие значения функций, отмечать положения точки по ее координатам. Следовательно. кинематические уравнения движения точки (58) можно
рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме, а время — как независимый переменный параметр.

Однако более удобно получить уравнение траектории, исключив время из уравнений (58). В самом деле, траекторией называют геометрическое место всех положений движущейся точки, но в геометрии нет понятия времени, а поэтому для получения уравнения траектории нужно из кинематических уравнений движения (58) исключить время t. Если точка движется в плоскости, то, исключив время из уравнений (58′) и (58″), мы получим соотношение, связывающее х и у:

f(x, у) = 0. (59)

Это уравнение плоской кривой—траектории точки. Если же движение задано тремя уравнениями (58), то, исключив время, получим два уравнения между тремя координатами:
(59^/)

выражающие, как известно из аналитической геометрии, кривую (траекторию) в пространстве. Точнее говоря, уравнения (59) или (59′) выражают кривую, которая полностью или в некоторой своей части является геометрическим местом всех положений движущейся точки.

Иногда бывает нужно выразить в естественной форме движение точки, заданное в прямоугольных координатах уравнениями (58), и, кроме уравнения траектории, дать также уравнение (51) движения точки по траектории. Чтобы его получить, надо продифференцировать уравнения (58) и полученные дифференциалы координат точки подставить в известную из курса высшей математики формулу, выражающую абсолютную величину элемента дуги:

(60)

Проинтегрировав (60), мы получим уравнение (51), выражающее длину дуги s как функцию времени, или, что то же, закон движения точки по траектории.

Задача №1

По заданным уравнениям движения точки в координатной форме найти уравнение траектории и уравнение движения по траектории:

1) х = 5 cos 2t, y = 3+5sin 2t;
2) x=21,2 sin² t, у = 21,2 cos 2t.

В обоих примерах за единицу длины принят сантиметр, за единицу времени — секунда.

Решение. Чтобы определить уравнение траектории по уравнениям движения, перенесем во втором из заданных уравнений 3 влево, возведем оба уравнения в квадрат и, сложив, получим

x²+ (y-3)² = 25.

Это уравнение окружности с центром в точке: x = 0, y = +3.

Чтобы получить закон движения, продифференцируем заданные уравнения: dx=—10 sin 2t dt, dy = 10 cos 2t dt.

Возводя в квадрат, складывая, извлекая квадратный корень и интегрируя, находим закон движения по траектории:
s=10t + C, где C = s₀.

2) Исключим время из уравнений движения во втором примере:

x+y = 21,2.

Это уравнение первого порядка относительно х и у, следовательно, траектория-прямая линия. Прямая отсекает на положительных направлениях осей координат отрезки по 21,2 см. Однако не вся прямая служит траекторией точки: из заданных уравнений видно, что х и у должны быть всегда положительны и не могут быть больше 21,2 см каждый, поэтому траекторией точки является лишь отрезок прямой x+y = 21,2, лежащей в первом квадранте (рис. 85).

Рис. 85

На этом примере мы видим, что траекторией точки иногда является лишь часть линии, выражаемой уравнением траектории.

Продифференцируем уравнения движения:

dx = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt,
dy = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt.

Теперь no формуле (60) нетрудно найти элемент дуги траектории:

ля получения уравнения (51) движения точки по траектории остается лишь проинтегрировать найденное выражение. Интегрируем и подставляем начальные условия (при t= 0, s₀ = 0):

Ответ. Уравнения траекторий x²+(y-3)²= 25 и x+y=21,2; уравнения движения по траектории s=10t+s₀ и s = 30 sin²t.

Задача №2

Движение точки задано уравнениями:
х = x’ cos φ (t)—y’ sin φ (t),
y = x’ sin φ (t) + y’ cos φ (t),

где х’ и у’ — некоторые постоянные величины, a φ(t)— любая функция времени. Определить траекторию точки.

Решение. Возведем каждое из уравнений в квадрат, а затем сложим их:

x² + y² = χ^‘2 + y^‘2.

По условию, х’ и у’ — постоянные. Обозначая сумму их квадратов через r², получим

x² + y²= r².

Ответ. Окружность с центром в начале координат радиуса .

Задача №3

Поезд длиной l м сначала идет по горизонтальному пути (рис. 86, а), а потом поднимается в гору под углом 2α к горизонту. Считая поезд однородной лентой, найти траекторию его центра тяжести.

Рис. 86

Решение. Для решения задачи нужно определить координаты центра тяжести поезда, найти уравнения движения центра тяжести и исключить из них время.

Направим оси координат по внутренней и внешней равиоделяшнм угла 2α (рис. 86, б). Траектория центра тяжести поезда не зависит от скорости поезда. Для простоты подсчетов предположим, что он идет равномерно со скоростью υ м/сек и в начальное мгновение t=0 подошел к горе.

Тогда за время t сек на гору поднимется υt м состава поезда и останется на горизонтальном пути l — υt м. Будем считать, что единица длины поезда весит γ.

Применяя формулы (48), найдем координаты центра тяжести поезда:

Координаты центра тяжести представлены здесь как функции времени, следовательно, полученные соотношения являются уравнениями движения центра тяжести поезда. Определяя t (или υt) из первого уравнения и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Ответ. Парабола.

Задача №4

Мостовой кран движется вдоль цеха согласно уравнению х = t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению у = 1,5t (х и у—в м, t — в сек). Цепь укорачивается со скоростью t>=0,5. Определить траекторию центра тяжести груза (в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости хОу, ось Oz направлена вертикально вверх).

Решение. В условии задачи даны лишь два уравнения движения и вертикальная скорость груза:

откуда dz = 0,5dt, и легко получаем третье уравнение:

z = 0,5t

Определив t из первого уравнения, подставим во второе и в третье:

y= 1,5x, z = 0,5x

Координаты груза должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям, т. е. траектория лежит одновременно в обеих плоскостях и является линией их пересечения.
Ответ. Прямая.

Алгебраическая величина скорости проекции точки на координатную ось равна первой производной от текущей координаты по времени:

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось

Пусть движение точки M определяется тремя уравнениями:
x =x(t),   (58′)
y = y(t),   (58″)
z = z(t).   (58″‘)

По мере движения точки M в пространстве ее проекции P, Q и R движутся по своим прямолинейным траекториям, т. е. по осям координат, и их движения вполне соответствуют движению точки М.

Так, координата (абсцисса) точки P всегда равна абсциссе точки М, а координаты точек QnR всегда равны ординате и аппликате точки М. Следовательно, при движении точки M в пространстве согласно уравнениям (58) точка P движется по оси Ox согласно уравнению (58′), а точки Q и R— соответственно по осям Oy и Oz согласно уравнениям (58″) и (58″‘).

Таким образом, движение точки M в пространстве можно разложить на три прямолинейных движения ее проекций P, Q и R.

Определим скорость υ_pточки P при движении этой точки по ее прямолинейной траектории Ох, иными словами, определим скорость проекции точки M на ось Ох.

Алгебраическая величина скорости выражается по формуле (53), причем дифференциалом расстояния точки P является дифференциал абсциссы х, а поэтому

(61)

Следовательно, алгебраическая величина скорости проекции P точки M на координатную ось равна первой производной от текущей координаты х по времени t. Она положительна, если точка P движется в положительном направлении оси Ох, и отрицательна, если точка P движется в отрицательном направлении.
Аналогично получаем алгебраические скорости проекций Q и R на ось Oy и на ось Oz:

(61″)

(61″‘)

Чтобы получить векторы скоростей проекций, надо умножить величины (61) на единичные векторы:
(61)

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции скорости той же точки на туже ось:

Скорость проекции и проекция скорости

Пусть точка М за бесконечно малый отрезок времени dt передвинулась по своей траектории на элемент дуги ds, абсолютную величину которого выразим формулой (60):

где dx, dy и dz — проекции элемента дуги на оси координат, или, Что то же, элементарные приращения координат точки М.

На рис. 87 эти элементы условно изображены конечными отрезками. Как видно из чертежа, косинусы углов, составляемых элементарным перемещением (а следовательно, и скоростью точки), с осями х, у и z соответственно равны

(62)

Величина скорости точки M может быть определена по (53):

Чтобы определить проекцию скорости на какую-либо ось, надо умножить абсолютную величину скорости на косинус угла между направлением скорости и направлением этой оси. Таким образом, для проекций скорости точки M на оси координат имеем:

(63′)

(63″)

(63″‘)

Рис. 87

Равенства (63) словами нужно читать так: проекция скорости точки на ось равна алгебраической скорости проекции точки на ту же ось.

Задача №5

Доказать, что проекция скорости точки M (х, у, z) иа плоскость хОу равняется скорости , с которой движется по плоскости проекция M₁(х, у, О) точки M на ту же плоскость.

Решение. Скорость точки M составляет с осью Oz угол γ_υ, следовательно, угол, составляемый ею с плоскостью хОу, равен 90° — yυ п косинус этого угла равен sinγ_υ. Поэтому модуль проекции скорости точки M на плоскость хОу

Подводя под радикал и выражая cosγ_υ, по формуле (62), мы убедимся, что проекция скорости на плоскость равна по величине скорости проекции:

Направления векторов и тоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы. Теорема доказана.

Модуль скорости точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций скорости на оси координат:

Модуль скорости. Возведем в квадрат каждое из равенств:
(63)

и сложим их:

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице и

или

(64)

Перед радикалом взят положительный знак, так как величина скорости (ее модуль) всегда положительна. В этом ее существенное отличие от алгебраической величины скорости (53), характеризующей скорость точки при движении по заданной траектории и имеющей знак « + » или «—» в зависимости от направления движения. Величину (64) иногда называют полной скоростью.

Направление скорости можно определить по направляющим косинусам скорости:

Направляющие косинусы скорости

Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (58). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемых направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63):

(62′)

где , и — производные от х, у и z по t.

Если точка движется в плоскости хОу, то γ_υ = 90^o, cosγ_υ = 0 и cos α_υ = sin β_υ.

Задача №6

Уравнения движения суть

Определить траекторию и скорость.

Решение. Из уравнений движения следует, что х и у всегда больше нуля.
Для определения уравнения траектории возведем каждое из уравнений движения в квадрат и составим разность

x² — у² = a²

Для определения скорости найдем сначала ее проекции:

а затем уже и полную скорость.

Ответ. Траектория — ветвь гиперболы x² — у² = a² — расположена в области положительных значений х; скорость .

Задача №7

Движение точки задано уравнениями

причем ось Ox горизонтальна, ось Oy направлена по вертикали вверх, υ₀, g и —величины постоянные. Найти траекторию точки, координаты наивысшего ее положения, проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох.

Решение. Уравнения описывают движение тела, брошенного со скоростью υ₀ под углом α₀ к горизонту (к оси Ох).
Чтобы найти уравнение траектории, определим время из первого уравнения и подставим найденное значение во второе; получим

уравнение параболы, проходящей через начало координат (рис. 88).

Рис. 88

Чтобы определить координаты наивысшего положения, мы можем применить известные из дифференциального исчисления правила нахождения максимума функции, т. е. взять производную , приравняв ее нулю, определить значение х и, подставив его в уравнение траектории, определить соответствующее значение у, убедившись при этом, что вторая производная . Однако мы найдем координаты наивысшего положения точки другим методом, для чего, продифференцировав по времени уравнения движения точки, найдем проекции ее скорости:

Первое из этих уравнений показывает, что проекция скорости на горизонтальную ось постоянна и равна проекции начальной скорости.

Исследование второго уравнения убеждает, что проекция скорости на вертикальную ось в начальное мгновение положительна и равна υ₀sin α₀; затем, по мере увеличения t, проекция υ_y уменьшается, оставаясь положительной до мгновения , когда υ_y обращается в нуль, после чего υ_y становится отрицательной, возрастая по абсолютной величине с течением времени t.

Таким образом, точка движется вправо, сначала поднимаясь, затем опускаясь. Мгновение , при котором точка кончила подниматься, но еще не начала опускаться, соответствует максимальному подъему точки. В это мгновение скорость горизонтальна и . Подставляя найденное значение t в уравнения движения, найдем координаты наивысшей точки траектории:

Определим проекции скорости в мгновение, когда точка находится на оси Ох. В это мгновение ордината точки равна нулю. Приравняем пулю второе из уравнений движения:

Точка находится на оси Ox два раза: при t=0 при

Первое значение t соответствует началу движения, второе —падению точки на ось Ох. Второе значение равно времени всего полета, и оно вдвое больше полученного нами ранее времени наивысшего подъема: время падения равно времени подъема.

Подставляя значение t=0 в уравнения, определяющие проекции скорости, найдем проекции скорости в начальное мгновение:

υ_x = + υ₀ cos α₀, υ_y = + υ₀ sin α₀.

Подставляя второе из найденных значений t, найдем скорости в момент падения:

υ_x = + υ₀ cos α₀, υ_y = — υ₀ sin α₀.

Ответ: 1) Парабола

3) υ_x = υ₀ cos α₀, υ_y = υ₀ sin α₀.

причем верхний знак соответствует началу движения, а нижний—концу.

Задача №8

По осям координат (рис. 89) скользят две муфты A и B, соединенные стержнем AB длиной l. Скорость В равна υ_B.

При каком положении муфт скорость муфты А вдвое больше υ_B?

Рис. 89

Решение. Координата точки А связана с координатой точки В соотношением

Считая х и у функциями времени и продифференцировав это равенство по времени, найдем зависимость между скоростями обеих точек:

Но и по условию надо, чтобы величина была равна 2υ_B, т. е.

откуда после алгебраических преобразований получаем ответ.

Ответ: (см. задачи № 57 и 89, где даны другие решения).

Проекция ускорения точки на координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости на ту же ось или второй производной от текущей координаты по времени:

Ускорение проекции и проекция ускорения

Ускорение характеризует изменение скорости точки в данное мгновение. Оно выражается пределом отношения изменения вектора скорости к соответствующему промежутку времени при стремлении этого промежутка времени к нулю.

Для того чтобы определить ускорение точки M при ее движении в пространстве, рассмотрим сначала движение по оси Ox точки Р, являющейся проекцией точки M на эту ось.

Пусть в некоторое мгновение t алгебраическая величина скорости точки P была υ_х, а в мгновение t_l = t + Δt стала υ_x+∆υ_x. Тогда ускорение точки P по величине и по знаку выразится пределом

Если знаки υ_x и a_p одинаковы, то движение точки P ускоренное, а если различны, то замедленное.

Аналогично выразятся ускорения проекций Q и R точки M на другие координатные оси:

Проекции υ_x, υ_y и υ_z сами являются производными по времени от координат точки, поэтому ускорения проекций можно выразить вторыми производными по времени от координат точки. Эти равенства характеризуют не только величины, но и знаки ускорений проекций. Иными словами, они выражают изменение алгебраических скоростей проекций P, Q и R в мгновение t.

Только что доказанная теорема о равенстве алгебраической скорости проекции точки на ось и проекции скорости той же точки на ту же ось справедлива для любого момента времени. Следовательно, эта теорема относится не только к скорости, но и к ее изменению в любое мгновение, т. е. к ускорению. Это значит, что написанные выше равенства выражают также проекции a_x, а_у и а_z ускорения а точки M на оси координат O_x, O_y и O_z:

(65)

где cosα_a, cosβ_a и cosγ_a—направляющие косинусы ускорения.

Можно рассматривать эти величины (65) как векторы, направленные по осям координат:

(65′)

Модуль ускорения точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций ускорения на оси координат:

Величина ускорения при координатном способе задания движения точки

Возведем в квадрат каждое из равенств:

и затем сложим их:

откуда

(66)

Перед радикалом взят знак плюс, так как модуль вектора—величина положительная. Ускорение точки в отличие от проекций ускорения на оси координат или на другие направления обычно называют полным ускорением. Поэтому равенство (66) можно прочитать так: величина полного ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Направление ускорения можно определить по направляющим косинусам ускорения:
,

Направляющие косинусы ускорения

Направление ускорения определяют по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с вектором ускорения. Формулы направляющих косинусов получаем из уравнений (65):
(67′)

(67»)

(67»’)

Для определения направления ускорения в каждом конкретном случае надо сначала найти ускорение проекций по (65), для чего необходимо дважды продифференцировать уравнения движения (58), затем найти величину ускорения по (66), а потом определить направляющие косинусы ускорения по (67).

Направление ускорения обычно не совпадает с направлением скорости, и направляющие косинусы (67) ускорения только при прямолинейном ускоренном движении точки постоянно равны направляющим косинусам (62) скорости.

Если точка движется в плоскости хОу, то γ_a = 90^o, cosγ_a = 0, cosα₀ = sin βa.

Задача №9

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям х= r cos πt, y=r sinπt, где х и у—в см, a t — в сек. Найти уравнение траектории точки М, ее скорость, направляющие косинусы скорости, ускорение, направляющие косинусы ускорения. Для значений времени t=0; 0,25; 0,5; 0,75, …. 2 сек дать чертежи положений точки M, вектора скорости и вектора ускорения.

Решение. Из уравнения движения видно, что координаты точки M являются проекциями на соответствующие оси радиуса-вектора r, составляющего с осью абсцисс угол πt:

Для определения траектории точки исключаем время из уравнений движения. Получаем уравнение окружности

x² + y² = r²

Найдем теперь проекции скорости на оси координат, для чего продифференцируем по времени уравнения движения:

откуда по (64) получаем модуль скорости

Величина скорости точки M постоянна.

Направляющие косинусы скорости определим по формуле (62′):

Эти соотношения показывают, что направление скорости непрерывно меняется и что скорость перпендикулярна радиусу-вектору, проведенному из центра О в точку М.

Ускорение точки M найдем по его проекциям, для чего продифференцируем выражения, полученные для проекций скорости:

откуда по (66) получаем величину ускорения

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости не только по величине, но и по направлению, поэтому, несмотря на постоянство модуля скорости точки М, ускорение этой точки не равно нулю. Как видно из полученного

Рис. 90

равенства, величина полного ускорения постоянна. Направление ускорения определим по направляющим косинусам согласно (67):

Направление ускорения точки M противоположно направлению радиуса-вектора.
Положения точки M в различные мгновения показаны на рис. 90, а, векторы скорости — на рис. 90,6 и векторы ускорения — на рис. 90, в.

Ответ. Точка M движется по окружности радиуса r против часовой стрелки с постоянной по величине скоростью υ = rπ и с постоянным по величине ускорением a = rπ².

Задача №10

Снаряд выбрасывается из орудия с начальной скоростью υ=1600 м/сек под утлом α₀ = 55^o к горизонту. Определить теоретическую дальность и высоту обстрела, учитывая, что ускорение свободно падающих тел g = 9,81 м/сек².

Решение. Сначала составим уравнения движения снаряда в координатной форме, направив оси, как показано на чертеже (см. рис. 88), для этого определим проекции ускорения:

Разделив переменные, интегрируем:
υ_х= С₁, υ_y = — gt + С2

Подставляя вместо переменных величин их начальные значения, увидим, что C₁ и C₂ равны проекциям начальной скорости:

1600 cos 55^o = C_1,1600 sin 55^o = — gt + C_2.

Подставим их в уравнения, полученные для проекций скорости:

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

При t = 0 координаты снаряда были: х =0, у = 0. Подставляя эти данные, найдем, что C₃ = O и C₄ = O. Значения cos 55° и sin 55° найдем в тригонометрических таблицах. Уравнения движения снаряда примут вид:

Далее поступим, как при решении задачи № 42: приравняв вертикальную скорость нулю, найдем время подъема снаряда (t= 133,7 сек); подставляя это значение t в уравнение движения по оси Оу, найдем теоретическую высоту обстрела (h = 87 636 м); удваивая время /, найдем время полета снаряда (t = 267,4 сек); подставляя это значение- в уравнение движения по оси Ох, найдем теоретическую дальность обстрела (l = 245 393 м).
Ответ. l = 245 км; h = 87,5κм.

Касательное и нормальное ускорения точки
Основные законы динамики
Колебания материальной точки
Количество движения
Пара сил в теоретической механике
Приведение системы сил к данной точке
Система сил на плоскости
Естественный и векторный способы определения движения точки

Источник

Рассматривая движение тел, чаще всего мы говорили о конкретном его виде — равномерном движении. В этом случае скорость тела остается постоянной.

Но движение, которое мы наблюдаем в жизни, редко бывает равномерным. Чаще всего мы видим неравномерное движение. Мы наблюдаем, как машины останавливаются перед пешеходным переходом, позволяя нам перейти дорогу. Или, наоборот, скатываясь с горки на велосипеде, мы чувствуем, как мчимся все быстрее и быстрее.

На данном уроке вы познакомитесь с новым видом движения — равноускоренным прямолинейным движением. Вы узнаете, как в этом случае происходит изменение скорости с течением времени, что такое ускорение и как оно связано с другими физическими величинами.

Равноускоренное движение

К какому виду движения — равномерному или неравномерному — относится прямолинейное равноускоренное движение?
Важно запомнить с самого начала, что прямолинейное равноускоренное движение является видом неравномерного движения. Дадим определение.

Прямолинейное равноускоренное движение — это движение, при котором тело перемещается вдоль прямой линии, а проекция вектора скорости тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Рассмотрим пример. Пусть самолет движется по взлетной полосе. При этом каждые $10 space с$ его скорость увеличивается на $20 frac{м}{с}$, каждые $5 space с$ — на $10 frac{м}{с}$, каждую $1 space с$ — на $2 frac{м}{с}$. Именно в таком случае мы говорим, что тело движется равноускоренно.

Обратите внимание, что при равноускоренном движении модуль вектора скорости может как увеличиваться, так и уменьшаться. В первом случае тело будет разгоняться, а во втором — тормозить.

Мгновенная скорость

Приводя в качестве примера равноускоренного движения самолет на взлетной полосе, мы должны добавить, что под скоростью его движения в данном случае подразумевается его мгновенная скорость.

Что понимают под мгновенной скоростью неравномерного движения?

Мгновенная скорость — это скорость тела в каждой конкретной точке траектории в соответствующий момент времени.

Принципиально для нас сейчас нет большой разницы между физическим смыслом обычной скорости и мгновенной скорости — она появится в курсе физики для старших классов. На данный момент нам важно запомнить, что если движение равномерное, то мы используем понятие скорости, а если движение неравномерное — понятие мгновенной скорости.

При равноускоренном движении мгновенная скорость может меняться по-разному: быстрее или медленнее. Для того, чтобы мы могли охарактеризовать быстроту этих изменений, мы будем использовать новую физическую величину — ускорение.

Ускорение

Рассмотрим движение автомобиля, который движется прямолинейно и равноускоренно (рисунок 1). Мы можем сказать, что за промежуток времени $t$ его скорость изменилась от начальной ($upsilon_0$) до конечной ($upsilon$). Получается, что за каждую единицу времени скорость автомобиля изменяется на величину, равную $frac{vec upsilon space − space vec upsilon_0}{t}$. Эта величина и называется ускорением $vec a$.

Рисунок 1. Ускорение равноускоренного движения

Дадим определение ускорения равноускоренного движения.

Ускорение тела при прямолинейном равноускоренном движении — это векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:
$vec a = frac{vec upsilon space − space vec upsilon_0}{t}$.

Ускорение является вектором. Значит, оно имеет не только численное значение, но и направление.

Что показывает модуль вектора ускорения?
Модуль ускорения показывает, насколько изменяется модуль скорости в каждую единицу времени. То есть, чем больше ускорение, тем быстрее изменяется скорость тела.

При каком условии модуль вектора скорости движущегося тела увеличивается, а при каком уменьшается?
Если векторы скорости и ускорения сонаправлены друг другу, то скорость растет, то есть модуль вектора скорости увеличивается. Если же векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны, то модуль скорости будет уменьшаться.

Единицы измерения ускорения

Какова единица ускорения?

Единица ускорения в СИ — это ускорение такого равноускоренного движения, при котором за $1 space с$ скорость движущегося тела изменяется на $1 frac{м}{с}$:
$frac{1 frac{м}{с}}{1 space с} = 1 frac{м}{с^2}$.

Ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате ($frac{м}{с^2}$).

Если мы говорим, что модуль ускорения равен, например, $5 frac{м}{с^2}$, это значит, что за каждую секунду скорость тела изменяется (увеличивается или уменьшается) на $5 frac{м}{с}$ (рисунок 2).

Рисунок 2. Физический смысл модуля ускорения

Равноускоренное движение и ускорение

Что такое равноускоренное движение?
Зная определение ускорения, мы можем дать определение равноускоренному движению.

Равноускоренное движение — это движение с постоянным ускорением:
$vec a = const$.

Примером равноускоренного движения может являться автомобиль при аккуратном торможении. При этом векторы его скорости и ускорения будут направлены противоположно друг другу (рисунок 3).

Рисунок 3. Торможение автомобиля как пример равноускоренного движения

Тело в свободном падении тоже совершает равноускоренное движение. Например, сосулька, падающая с крыши дома (рисунок 4).

Рисунок 4. Падение сосульки с крыши дома как пример равноускоренного движения

Катаясь на коньках, мы тоже часто движемся равноускоренно (рисунок 5).

Рисунок 5. Скольжение по льду как пример равноускоренного движения

Формула для расчета ускорения при решении задач

Для вычисления ускорения тела, движущегося равноускоренно и прямолинейно, мы будем использовать следующую формулу, в которую входят проекции векторов ускорения и скорости:

$a_x = frac{upsilon_x space − space upsilon_{0x}}{t}$.

Здесь $a_x$ — это проекция ускорения на ось OX, которую мы и будем вычислять, $upsilon_x$ — проекция текущей скорости на ось OX, $upsilon_{0x}$ — проекция начальной скорости на ось OX, $t$ или $Delta t$ — промежуток времени, за который произошло изменение проекции скорости.

Стоит отметить, что работать мы будем пока только с прямолинейным движением, поэтому нам достаточно одной оси — как правило, оси OX.

Для того, чтобы разобраться с использованием этой формулы, ниже приведены примеры задач с подробными решениями и объяснениями.

Пример задачи №1 (тело разгоняется)

Образавр равноускоренно скатывается на санках с горы (рисунок 6). Участок пути AB санки прошли за $4 space c$. В точке A они имели скорость, равную $0.4 frac{м}{с}$, а в точке B — $2 frac{м}{с}$. Найдите ускорение, с которым санки двигались на участке AB.

Рисунок 6. Иллюстрация к задаче №1

За начало отсчета времени мы примем момент прохождения санками точки A. Именно от этого момента отсчитывается промежуток времени, при котором модуль скорости изменился от $0.4 frac{м}{с}$ до $2 frac{м}{с}$.

Напоминаем, что производить вычисления мы будем с проекциями векторов. Для этого мы проведем ось OX (рисунок 7). Она параллельна вектору скорости санок и направлена в ту же сторону.

Рисунок 7. Проекции векторов начальной и конечной скоростей в задаче №1

На эту ось мы спроецируем векторы $vec upsilon_0$ и $vec upsilon$. Получаем отрезки $upsilon_{0x}$ и $upsilon_x$ — проекции этих векторов. Эти проекции положительны (так как изначально векторы сонаправлены оси OX) и равны модулям соответствующих векторов:
$upsilon_{0x} = 0.4 frac{м}{с}$,
$upsilon_x = 2 frac{м}{с}$.

Теперь мы можем записать условия задачи и приступить к ее решению.

Дано:
$upsilon_{0x} = 0.4 frac{м}{с}$
$upsilon_x = 2 frac{м}{с}$
$t = 4 space с$

$a_x — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Запишем формулу для расчета проекции ускорения и рассчитаем ее:
$a_x = frac{upsilon_x space − space upsilon_{0x}}{t}$,
$a_x = frac{2 frac{м}{с} space − space 0.4 frac{м}{с}}{4 space с} = frac{1.6 frac{м}{с}}{4 space с} = 0.4 frac{м}{с^2}$.

Проекция вектора ускорения получилась положительной. Это означает, что вектор ускорения сонаправлен оси OX и векторам скоростей санок.

С течением времени скорость движения санок увеличивается: каждую секунду на $0.4 frac{м}{с^2}$.

Ответ: $a_x = 0.4 frac{м}{с^2}$.

Пример задачи №2 (тело замедляется)

Образавр на санках скатился с горы и движется по горизонтальному участку CD (рисунок 8). На санки действует сила трения, от которой санки замедляются и останавливаются в точке D. Известно, что в точке С санки имели скорость $1.2 frac{м}{с}$, а участок CD был пройден ими за $6 space с$. Найдите ускорение санок на данном участке движения.

Рисунок 8. Иллюстрация к задаче №2

В этот раз началом отсчета времени будет момент, когда санки проходят точку C. Так же проводим ось OX, параллельную участку CD (рисунок 9).

Рисунок 9. Проекции векторов начальной и конечной скоростей в задаче №2

Тогда проекции скоростей на ось OX будут положительны и равны модулям этих векторов: при $t_0 = 0 space с$ проекция начальной скорости $upsilon_{0x}$ будет равна $1.2 frac{м}{с}$, а при $t = 6 space с$ проекция конечной скорости $upsilon_x$ будет равна $0 frac{м}{с}$.

Теперь запишем условия задачи и решим ее.

Дано:
$upsilon_{0x} = 1.2 frac{м}{с}$
$upsilon_x = 0 frac{м}{с}$
$t = 6 space с$

$a_x — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Запишем формулу для расчета проекции ускорения и рассчитаем ее:
$a_x = frac{upsilon_x space − space upsilon_{0x}}{t}$,
$a_x = frac{0 frac{м}{с} space − space 1.2 frac{м}{с}}{6 space с} = frac{−1.2 frac{м}{с}}{6 space с} = −0.2 frac{м}{с^2}$.

Проекция вектора ускорения получилась отрицательной. Это означает, что вектор ускорения направлен противоположно оси OX и векторам скоростей санок.

С течением времени скорость движения санок уменьшалась: каждую секунду на $0.2 frac{м}{с^2}$.

Ответ: $a_x = −0.2 frac{м}{с^2}$.

Упражнения

Упражнение №1

За один и тот же промежуток времени $t$ модуль вектора скорости первого автомобиля изменился от $upsilon_1$ до $upsilon’$, а второго — от $upsilon_2$ до $upsilon’$ (векторы скорости изображены в одинаковом масштабе на рисунке 10). Какой из автомобилей двигался в указанный промежуток с большим ускорением? Скорость какого из них возрастала быстрее?

Рисунок 10. Векторы скоростей двух автомобилей

Посмотреть ответ

Скрыть

Ответ:

Давайте оценим, насколько изменились скорости автомобилей за один и тот же промежуток времени $t$.

Из рисунка 10 видно, что за время $t$ модуль скорости первого автомобиля увеличился на 4 единицы, а вот модуль скорости второго автомобиля увеличился всего на 2 единицы. Значит, первый автомобиль двигался с большим ускорением.

Так как первый автомобиль обладал большим ускорением, чем второй, то и его скорость возрастала быстрее.

Упражнение №2

Самолет, разгоняясь перед взлетом, в течение некоторого промежутка времени двигался равноускоренно. Каково было при этом ускорение самолета, если за $30 space с$ его скорость возросла от $10 frac{м}{с}$ до $55 frac{м}{с}$?

Дано:
$upsilon_{0x} = 10 frac{м}{с}$
$upsilon_x = 55 frac{м}{с}$
$t = 30 space с$

$a_x — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Запишем формулу для расчета проекции ускорения и рассчитаем ее:
$a_x = frac{upsilon_x space − space upsilon_{0x}}{t}$,
$a_x = frac{55 frac{м}{с} space − space 10 frac{м}{с}}{30 space с} = frac{45 frac{м}{с}}{30 space с} = 1.5 frac{м}{с^2}$.

Ответ: $a_x = 1.5 frac{м}{с^2}$.

Упражнение №3

С каким ускорением двигался поезд на некотором участке пути, если за $12 space с$ его скорость возросла на $6 frac{м}{с}$?

Дано:
$Delta upsilon_x = upsilon_x space − space upsilon_{0x} = 6 frac{м}{с}$
$t = 12 space с$

$a_x — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Запишем формулу для расчета проекции ускорения и подставим в нее изменение скорости:
$a_x = frac{upsilon_x space − space upsilon_{0x}}{t} = frac{Delta upsilon_x}{t}$.

Рассчитаем это ускорение:
$a_x = frac{6 frac{м}{с}}{12 space с} = 0.5 frac{м}{с^2}$.

Ответ: $a_x = 0.5 frac{м}{с^2}$.

Источник

Как найти ускорение — определение и формулы расчета в физике

Что такое ускорение

Единица измерения

Как рассчитать ускорение: формулы

Для прямолинейного движения

Для равноускоренного движения

Для равнозамедленного движения

Нахождение ускорения через массу и силу

Мгновенное ускорение

Максимальное ускорение

Среднее ускорение

Проекция ускорения

Текст с ошибкой:

Поиск по содержимому

Проекции скорости и ускорения

График скорости

Вращательное движение твердого тела.

Равномерное движение по окружности

Период и частота

Проекция ускорения

Направление вектора ускорения

График ускорения

Равноускоренное прямолинейное движение. Ускорение

п.1. Равноускоренное движение

п.2. Ускорение

п.3. Уравнение скорости и график скорости при равноускоренном прямолинейном движении

п.4. Определение пути и перемещения по графику скорости

п.5. Задачи

Задание движения точки в прямоугольных координатах

Уравнение траектории

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось

Скорость проекции и проекция скорости

Направляющие косинусы скорости

Ускорение проекции и проекция ускорения

Величина ускорения при координатном способе задания движения точки

Направляющие косинусы ускорения

Равноускоренное движение

Мгновенная скорость

Ускорение

Единицы измерения ускорения

Равноускоренное движение и ускорение

Формула для расчета ускорения при решении задач

Пример задачи №1 (тело разгоняется)

Пример задачи №2 (тело замедляется)

Упражнения

Упражнение №1

Упражнение №2

Упражнение №3

Не пропустите также: