Как пишется обыкновенная дробь - Наука и образование на Pishetsya.top

A cake with one quarter (one fourth) removed. The remaining three fourths are shown by dotted lines and labeled by the fraction 1/4

A fraction (from Latin: fractus, «broken») represents a part of a whole or, more generally, any number of equal parts. When spoken in everyday English, a fraction describes how many parts of a certain size there are, for example, one-half, eight-fifths, three-quarters. A common, vulgar, or simple fraction (examples: ${tfrac {1}{2}}$ and ${displaystyle {tfrac {17}{3}}}$ ) consists of a numerator, displayed above a line (or before a slash like 1⁄2), and a non-zero denominator, displayed below (or after) that line. Numerators and denominators are also used in fractions that are not common, including compound fractions, complex fractions, and mixed numerals.

In positive common fractions, the numerator and denominator are natural numbers. The numerator represents a number of equal parts, and the denominator indicates how many of those parts make up a unit or a whole. The denominator cannot be zero, because zero parts can never make up a whole. For example, in the fraction 3/4, the numerator 3 indicates that the fraction represents 3 equal parts, and the denominator 4 indicates that 4 parts make up a whole. The picture to the right illustrates 3/4 of a cake.

A common fraction is a numeral which represents a rational number. That same number can also be represented as a decimal, a percent, or with a negative exponent. For example, 0.01, 1%, and 10⁻² are all equal to the fraction 1/100. An integer can be thought of as having an implicit denominator of one (for example, 7 equals 7/1).

Other uses for fractions are to represent ratios and division.^[1] Thus the fraction 3/4 can also be used to represent the ratio 3:4 (the ratio of the part to the whole), and the division 3 ÷ 4 (three divided by four). The non-zero denominator rule, which applies when representing a division as a fraction, is an example of the rule that division by zero is undefined.

We can also write negative fractions, which represent the opposite of a positive fraction. For example, if 1/2 represents a half-dollar profit, then −1/2 represents a half-dollar loss. Because of the rules of division of signed numbers (which states in part that negative divided by positive is negative), −1/2, −1/2 and 1/−2 all represent the same fraction – negative one-half. And because a negative divided by a negative produces a positive, −1/−2 represents positive one-half.

In mathematics the set of all numbers that can be expressed in the form a/b, where a and b are integers and b is not zero, is called the set of rational numbers and is represented by the symbol Q, which stands for quotient. A number is a rational number precisely when it can be written in that form (i.e., as a common fraction). However, the word fraction can also be used to describe mathematical expressions that are not rational numbers. Examples of these usages include algebraic fractions (quotients of algebraic expressions), and expressions that contain irrational numbers, such as ${textstyle {frac {sqrt {2}}{2}}}$ (see square root of 2) and π/4 (see proof that π is irrational).

Vocabulary

In a fraction, the number of equal parts being described is the numerator (from Latin: numerātor, «counter» or «numberer»), and the type or variety of the parts is the denominator (from Latin: dēnōminātor, «thing that names or designates»).^[2]^[3] As an example, the fraction 8/5 amounts to eight parts, each of which is of the type named «fifth». In terms of division, the numerator corresponds to the dividend, and the denominator corresponds to the divisor.

Informally, the numerator and denominator may be distinguished by placement alone, but in formal contexts they are usually separated by a fraction bar. The fraction bar may be horizontal (as in 1/3), oblique (as in 2/5), or diagonal (as in 4⁄9).^[4] These marks are respectively known as the horizontal bar; the virgule, slash (US), or stroke (UK); and the fraction bar, solidus,^[5] or fraction slash.^{[n 1]} In typography, fractions stacked vertically are also known as «en» or «nut fractions», and diagonal ones as «em» or «mutton fractions», based on whether a fraction with a single-digit numerator and denominator occupies the proportion of a narrow en square, or a wider em square.^[4] In traditional typefounding, a piece of type bearing a complete fraction (e.g. 1/2) was known as a «case fraction», while those representing only part of fraction were called «piece fractions».

The denominators of English fractions are generally expressed as ordinal numbers, in the plural if the numerator is not 1. (For example, 2/5 and 3/5 are both read as a number of «fifths».) Exceptions include the denominator 2, which is always read «half» or «halves», the denominator 4, which may be alternatively expressed as «quarter»/»quarters» or as «fourth»/»fourths», and the denominator 100, which may be alternatively expressed as «hundredth»/»hundredths» or «percent».

When the denominator is 1, it may be expressed in terms of «wholes» but is more commonly ignored, with the numerator read out as a whole number. For example, 3/1 may be described as «three wholes», or simply as «three». When the numerator is 1, it may be omitted (as in «a tenth» or «each quarter»).

The entire fraction may be expressed as a single composition, in which case it is hyphenated, or as a number of fractions with a numerator of one, in which case they are not. (For example, «two-fifths» is the fraction 2/5 and «two fifths» is the same fraction understood as 2 instances of 1/5.) Fractions should always be hyphenated when used as adjectives. Alternatively, a fraction may be described by reading it out as the numerator «over» the denominator, with the denominator expressed as a cardinal number. (For example, 3/1 may also be expressed as «three over one».) The term «over» is used even in the case of solidus fractions, where the numbers are placed left and right of a slash mark. (For example, 1/2 may be read «one-half», «one half», or «one over two».) Fractions with large denominators that are not powers of ten are often rendered in this fashion (e.g., 1/117 as «one over one hundred seventeen»), while those with denominators divisible by ten are typically read in the normal ordinal fashion (e.g., 6/1000000 as «six-millionths», «six millionths», or «six one-millionths»).

Forms of fractions

Simple, common, or vulgar fractions

A simple fraction (also known as a common fraction or vulgar fraction, where vulgar is Latin for «common») is a rational number written as a/b or ${tfrac {a}{b}}$ , where a and b are both integers.^[9] As with other fractions, the denominator (b) cannot be zero. Examples include ${tfrac {1}{2}}$ , $-{tfrac {8}{5}}$ , ${tfrac {-8}{5}}$ , and ${tfrac {8}{-5}}$ . The term was originally used to distinguish this type of fraction from the sexagesimal fraction used in astronomy.^[10]

Common fractions can be positive or negative, and they can be proper or improper (see below). Compound fractions, complex fractions, mixed numerals, and decimals (see below) are not common fractions; though, unless irrational, they can be evaluated to a common fraction.

In Unicode, precomposed fraction characters are in the Number Forms block.

Proper and improper fractions

Common fractions can be classified as either proper or improper. When the numerator and the denominator are both positive, the fraction is called proper if the numerator is less than the denominator, and improper otherwise.^[11]^[12] The concept of an «improper fraction» is a late development, with the terminology deriving from the fact that «fraction» means «a piece», so a proper fraction must be less than 1.^[10] This was explained in the 17th century textbook The Ground of Arts.^[13]^[14]

In general, a common fraction is said to be a proper fraction, if the absolute value of the fraction is strictly less than one—that is, if the fraction is greater than −1 and less than 1.^[15]^[16] It is said to be an improper fraction, or sometimes top-heavy fraction,^[17] if the absolute value of the fraction is greater than or equal to 1. Examples of proper fractions are 2/3, −3/4, and 4/9, whereas examples of improper fractions are 9/4, −4/3, and 3/3.

Reciprocals and the «invisible denominator»

The reciprocal of a fraction is another fraction with the numerator and denominator exchanged. The reciprocal of ${tfrac {3}{7}}$ , for instance, is ${tfrac {7}{3}}$ . The product of a fraction and its reciprocal is 1, hence the reciprocal is the multiplicative inverse of a fraction. The reciprocal of a proper fraction is improper, and the reciprocal of an improper fraction not equal to 1 (that is, numerator and denominator are not equal) is a proper fraction.

When the numerator and denominator of a fraction are equal (for example, ${displaystyle {tfrac {7}{7}}}$ ), its value is 1, and the fraction therefore is improper. Its reciprocal is identical and hence also equal to 1 and improper.

Any integer can be written as a fraction with the number one as denominator. For example, 17 can be written as ${tfrac {17}{1}}$ , where 1 is sometimes referred to as the invisible denominator. Therefore, every fraction or integer, except for zero, has a reciprocal. For example. the reciprocal of 17 is ${tfrac {1}{17}}$ .

Ratios

A ratio is a relationship between two or more numbers that can be sometimes expressed as a fraction. Typically, a number of items are grouped and compared in a ratio, specifying numerically the relationship between each group. Ratios are expressed as «group 1 to group 2 … to group n«. For example, if a car lot had 12 vehicles, of which

2 are white,
6 are red, and
4 are yellow,

then the ratio of red to white to yellow cars is 6 to 2 to 4. The ratio of yellow cars to white cars is 4 to 2 and may be expressed as 4:2 or 2:1.

A ratio is often converted to a fraction when it is expressed as a ratio to the whole. In the above example, the ratio of yellow cars to all the cars on the lot is 4:12 or 1:3. We can convert these ratios to a fraction, and say that 4/12 of the cars or 1/3 of the cars in the lot are yellow. Therefore, if a person randomly chose one car on the lot, then there is a one in three chance or probability that it would be yellow.

Decimal fractions and percentages

A decimal fraction is a fraction whose denominator is not given explicitly, but is understood to be an integer power of ten. Decimal fractions are commonly expressed using decimal notation in which the implied denominator is determined by the number of digits to the right of a decimal separator, the appearance of which (e.g., a period, an interpunct (·), a comma) depends on the locale (for examples, see decimal separator). Thus, for 0.75 the numerator is 75 and the implied denominator is 10 to the second power, namely, 100, because there are two digits to the right of the decimal separator. In decimal numbers greater than 1 (such as 3.75), the fractional part of the number is expressed by the digits to the right of the decimal (with a value of 0.75 in this case). 3.75 can be written either as an improper fraction, 375/100, or as a mixed number, $3{tfrac {75}{100}}$ .

Decimal fractions can also be expressed using scientific notation with negative exponents, such as 6.023×10⁻⁷, which represents 0.0000006023. The 10⁻⁷ represents a denominator of 10⁷. Dividing by 10⁷ moves the decimal point 7 places to the left.

Decimal fractions with infinitely many digits to the right of the decimal separator represent an infinite series. For example, 1/3 = 0.333… represents the infinite series 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ….

Another kind of fraction is the percentage (from Latin: per centum, meaning «per hundred», represented by the symbol %), in which the implied denominator is always 100. Thus, 51% means 51/100. Percentages greater than 100 or less than zero are treated in the same way, e.g. 311% equals 311/100, and −27% equals −27/100.

The related concept of permille or parts per thousand (ppt) has an implied denominator of 1000, while the more general parts-per notation, as in 75 parts per million (ppm), means that the proportion is 75/1,000,000.

Whether common fractions or decimal fractions are used is often a matter of taste and context. Common fractions are used most often when the denominator is relatively small. By mental calculation, it is easier to multiply 16 by 3/16 than to do the same calculation using the fraction’s decimal equivalent (0.1875). And it is more accurate to multiply 15 by 1/3, for example, than it is to multiply 15 by any decimal approximation of one third. Monetary values are commonly expressed as decimal fractions with denominator 100, i.e., with two decimals, for example $3.75. However, as noted above, in pre-decimal British currency, shillings and pence were often given the form (but not the meaning) of a fraction, as, for example, «3/6» (read «three and six») meaning 3 shillings and 6 pence, and having no relationship to the fraction 3/6.

Mixed numbers

A mixed numeral (also called a mixed fraction or mixed number) is a traditional denotation of the sum of a non-zero integer and a proper fraction (having the same sign). It is used primarily in measurement: ${displaystyle 2{tfrac {3}{16}}}$ inches, for example. Scientific measurements almost invariably use decimal notation rather than mixed numbers. The sum can be implied without the use of a visible operator such as the appropriate «+». For example, in referring to two entire cakes and three quarters of another cake, the numerals denoting the integer part and the fractional part of the cakes can be written next to each other as $2{tfrac {3}{4}}$ instead of the unambiguous notation ${displaystyle 2+{tfrac {3}{4}}.}$ Negative mixed numerals, as in $-2{tfrac {3}{4}}$ , are treated like ${displaystyle scriptstyle -left(2+{frac {3}{4}}right).}$ Any such sum of a whole plus a part can be converted to an improper fraction by applying the rules of adding unlike quantities.

This tradition is, formally, in conflict with the notation in algebra where adjacent symbols, without an explicit infix operator, denote a product. In the expression , the «understood» operation is multiplication. If x is replaced by, for example, the fraction ${displaystyle {tfrac {3}{4}}}$ , the «understood» multiplication needs to be replaced by explicit multiplication, to avoid the appearance of a mixed number.

When multiplication is intended, ${displaystyle 2{tfrac {b}{c}}}$ may be written as

${displaystyle 2cdot {frac {b}{c}},quad }$

or ${displaystyle quad 2times {frac {b}{c}},quad }$

or ${displaystyle quad 2left({frac {b}{c}}right),;ldots }$

An improper fraction can be converted to a mixed number as follows:

Using Euclidean division (division with remainder), divide the numerator by the denominator. In the example, ${tfrac {11}{4}}$ , divide 11 by 4. 11 ÷ 4 = 2 remainder 3.
The quotient (without the remainder) becomes the whole number part of the mixed number. The remainder becomes the numerator of the fractional part. In the example, 2 is the whole number part and 3 is the numerator of the fractional part.
The new denominator is the same as the denominator of the improper fraction. In the example, it is 4. Thus, ${tfrac {11}{4}}=2{tfrac {3}{4}}$ .

Historical notions

Egyptian fraction

An Egyptian fraction is the sum of distinct positive unit fractions, for example ${tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{3}}$ . This definition derives from the fact that the ancient Egyptians expressed all fractions except ${tfrac {1}{2}}$ , ${tfrac {2}{3}}$ and ${tfrac {3}{4}}$ in this manner. Every positive rational number can be expanded as an Egyptian fraction. For example, ${tfrac {5}{7}}$ can be written as ${tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{6}}+{tfrac {1}{21}}.$ Any positive rational number can be written as a sum of unit fractions in infinitely many ways. Two ways to write ${tfrac {13}{17}}$ are ${tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{4}}+{tfrac {1}{68}}$ and ${tfrac {1}{3}}+{tfrac {1}{4}}+{tfrac {1}{6}}+{tfrac {1}{68}}$ .

Complex and compound fractions

In a complex fraction, either the numerator, or the denominator, or both, is a fraction or a mixed number,^[18]^[19] corresponding to division of fractions. For example, ${frac {tfrac {1}{2}}{tfrac {1}{3}}}$ and ${frac {12{tfrac {3}{4}}}{26}}$ are complex fractions. To reduce a complex fraction to a simple fraction, treat the longest fraction line as representing division. For example:

${displaystyle {frac {tfrac {1}{2}}{tfrac {1}{3}}}={tfrac {1}{2}}times {tfrac {3}{1}}={tfrac {3}{2}}}$

${frac {12{tfrac {3}{4}}}{26}}=12{tfrac {3}{4}}cdot {tfrac {1}{26}}={tfrac {12cdot 4+3}{4}}cdot {tfrac {1}{26}}={tfrac {51}{4}}cdot {tfrac {1}{26}}={tfrac {51}{104}}$

${frac {tfrac {3}{2}}{5}}={tfrac {3}{2}}times {tfrac {1}{5}}={tfrac {3}{10}}$

${displaystyle {frac {8}{tfrac {1}{3}}}=8times {tfrac {3}{1}}=24.}$

If, in a complex fraction, there is no unique way to tell which fraction lines takes precedence, then this expression is improperly formed, because of ambiguity. So 5/10/20/40 is not a valid mathematical expression, because of multiple possible interpretations, e.g. as

${displaystyle 5/(10/(20/40))={frac {5}{10/{tfrac {20}{40}}}}={frac {1}{4}}quad }$

or as ${displaystyle quad (5/10)/(20/40)={frac {tfrac {5}{10}}{tfrac {20}{40}}}=1}$

A compound fraction is a fraction of a fraction, or any number of fractions connected with the word of,^[18]^[19] corresponding to multiplication of fractions. To reduce a compound fraction to a simple fraction, just carry out the multiplication (see the section on multiplication). For example, ${tfrac {3}{4}}$ of ${tfrac {5}{7}}$ is a compound fraction, corresponding to ${tfrac {3}{4}}times {tfrac {5}{7}}={tfrac {15}{28}}$ . The terms compound fraction and complex fraction are closely related and sometimes one is used as a synonym for the other. (For example, the compound fraction ${displaystyle {tfrac {3}{4}}times {tfrac {5}{7}}}$ is equivalent to the complex fraction ${displaystyle {tfrac {3/4}{7/5}}}$ .)

Nevertheless, «complex fraction» and «compound fraction» may both be considered outdated^[20] and now used in no well-defined manner, partly even taken synonymously for each other^[21] or for mixed numerals.^[22] They have lost their meaning as technical terms and the attributes «complex» and «compound» tend to be used in their every day meaning of «consisting of parts».

Arithmetic with fractions

Like whole numbers, fractions obey the commutative, associative, and distributive laws, and the rule against division by zero.

Equivalent fractions

Multiplying the numerator and denominator of a fraction by the same (non-zero) number results in a fraction that is equivalent to the original fraction. This is true because for any non-zero number , the fraction ${tfrac {n}{n}}$ equals . Therefore, multiplying by ${tfrac {n}{n}}$ is the same as multiplying by one, and any number multiplied by one has the same value as the original number. By way of an example, start with the fraction ${tfrac {1}{2}}$ . When the numerator and denominator are both multiplied by 2, the result is ${tfrac {2}{4}}$ , which has the same value (0.5) as ${tfrac {1}{2}}$ . To picture this visually, imagine cutting a cake into four pieces; two of the pieces together ( ${tfrac {2}{4}}$ ) make up half the cake ( ${tfrac {1}{2}}$ ).

Simplifying (reducing) fractions

Dividing the numerator and denominator of a fraction by the same non-zero number yields an equivalent fraction: if the numerator and the denominator of a fraction are both divisible by a number (called a factor) greater than 1, then the fraction can be reduced to an equivalent fraction with a smaller numerator and a smaller denominator. For example, if both the numerator and the denominator of the fraction ${tfrac {a}{b}}$ are divisible by then they can be written as and and the fraction becomes ${displaystyle {tfrac {cd}{ce}}}$ , which can be reduced by dividing both the numerator and denominator by to give the reduced fraction ${displaystyle {tfrac {d}{e}}.}$

If one takes for c the greatest common divisor of the numerator and the denominator, one gets the equivalent fraction whose numerator and denominator have the lowest absolute values. One says that the fraction has been reduced to its lowest terms.

If the numerator and the denominator do not share any factor greater than 1, the fraction is already reduced to its lowest terms, and it is said to be irreducible, reduced, or in simplest terms. For example, ${tfrac {3}{9}}$ is not in lowest terms because both 3 and 9 can be exactly divided by 3. In contrast, ${tfrac {3}{8}}$ is in lowest terms—the only positive integer that goes into both 3 and 8 evenly is 1.

Using these rules, we can show that ${displaystyle {tfrac {5}{10}}={tfrac {1}{2}}={tfrac {10}{20}}={tfrac {50}{100}}}$ , for example.

As another example, since the greatest common divisor of 63 and 462 is 21, the fraction ${tfrac {63}{462}}$ can be reduced to lowest terms by dividing the numerator and denominator by 21:

${displaystyle {tfrac {63}{462}}={tfrac {63,div ,21}{462,div ,21}}={tfrac {3}{22}}}$

The Euclidean algorithm gives a method for finding the greatest common divisor of any two integers.

Comparing fractions

Comparing fractions with the same positive denominator yields the same result as comparing the numerators:

${tfrac {3}{4}}>{tfrac {2}{4}}$

because 3 > 2, and the equal denominators

are positive.

If the equal denominators are negative, then the opposite result of comparing the numerators holds for the fractions:

${displaystyle {tfrac {3}{-4}}<{tfrac {2}{-4}}{text{ because }}{tfrac {a}{-b}}={tfrac {-a}{b}}{text{ and }}-3<-2.}$

If two positive fractions have the same numerator, then the fraction with the smaller denominator is the larger number. When a whole is divided into equal pieces, if fewer equal pieces are needed to make up the whole, then each piece must be larger. When two positive fractions have the same numerator, they represent the same number of parts, but in the fraction with the smaller denominator, the parts are larger.

One way to compare fractions with different numerators and denominators is to find a common denominator. To compare ${tfrac {a}{b}}$ and ${tfrac {c}{d}}$ , these are converted to ${displaystyle {tfrac {acdot d}{bcdot d}}}$ and ${displaystyle {tfrac {bcdot c}{bcdot d}}}$ (where the dot signifies multiplication and is an alternative symbol to ×). Then bd is a common denominator and the numerators ad and bc can be compared. It is not necessary to determine the value of the common denominator to compare fractions – one can just compare ad and bc, without evaluating bd, e.g., comparing ${tfrac {2}{3}}$ ? ${tfrac {1}{2}}$ gives ${tfrac {4}{6}}>{tfrac {3}{6}}$ .

For the more laborious question ${tfrac {5}{18}}$ ? ${displaystyle {tfrac {4}{17}},}$ multiply top and bottom of each fraction by the denominator of the other fraction, to get a common denominator, yielding ${tfrac {5times 17}{18times 17}}$ ? ${displaystyle {tfrac {18times 4}{18times 17}}}$ . It is not necessary to calculate – only the numerators need to be compared. Since 5×17 (= 85) is greater than 4×18 (= 72), the result of comparing is ${tfrac {5}{18}}>{tfrac {4}{17}}$ .

Because every negative number, including negative fractions, is less than zero, and every positive number, including positive fractions, is greater than zero, it follows that any negative fraction is less than any positive fraction. This allows, together with the above rules, to compare all possible fractions.

Addition

The first rule of addition is that only like quantities can be added; for example, various quantities of quarters. Unlike quantities, such as adding thirds to quarters, must first be converted to like quantities as described below: Imagine a pocket containing two quarters, and another pocket containing three quarters; in total, there are five quarters. Since four quarters is equivalent to one (dollar), this can be represented as follows:

${tfrac {2}{4}}+{tfrac {3}{4}}={tfrac {5}{4}}=1{tfrac {1}{4}}$

If ${tfrac {1}{2}}$ of a cake is to be added to ${tfrac {1}{4}}$ of a cake, the pieces need to be converted into comparable quantities, such as cake-eighths or cake-quarters.

Adding unlike quantities

To add fractions containing unlike quantities (e.g. quarters and thirds), it is necessary to convert all amounts to like quantities. It is easy to work out the chosen type of fraction to convert to; simply multiply together the two denominators (bottom number) of each fraction. In case of an integer number apply the invisible denominator

For adding quarters to thirds, both types of fraction are converted to twelfths, thus:

${displaystyle {frac {1}{4}} +{frac {1}{3}}={frac {1times 3}{4times 3}} +{frac {1times 4}{3times 4}}={frac {3}{12}} +{frac {4}{12}}={frac {7}{12}}.}$

Consider adding the following two quantities:

${displaystyle {frac {3}{5}}+{frac {2}{3}}}$

First, convert ${tfrac {3}{5}}$ into fifteenths by multiplying both the numerator and denominator by three: ${tfrac {3}{5}}times {tfrac {3}{3}}={tfrac {9}{15}}$ . Since ${tfrac {3}{3}}$ equals 1, multiplication by ${tfrac {3}{3}}$ does not change the value of the fraction.

Second, convert ${tfrac {2}{3}}$ into fifteenths by multiplying both the numerator and denominator by five: ${tfrac {2}{3}}times {tfrac {5}{5}}={tfrac {10}{15}}$ .

Now it can be seen that:

${displaystyle {frac {3}{5}}+{frac {2}{3}}}$

is equivalent to:

${displaystyle {frac {9}{15}}+{frac {10}{15}}={frac {19}{15}}=1{frac {4}{15}}}$

This method can be expressed algebraically:

${displaystyle {frac {a}{b}}+{frac {c}{d}}={frac {ad+cb}{bd}}}$

This algebraic method always works, thereby guaranteeing that the sum of simple fractions is always again a simple fraction. However, if the single denominators contain a common factor, a smaller denominator than the product of these can be used. For example, when adding ${tfrac {3}{4}}$ and ${displaystyle {tfrac {5}{6}}}$ the single denominators have a common factor and therefore, instead of the denominator 24 (4 × 6), the halved denominator 12 may be used, not only reducing the denominator in the result, but also the factors in the numerator.

${displaystyle {begin{aligned}{frac {3}{4}}+{frac {5}{6}}&={frac {3cdot 6}{4cdot 6}}+{frac {4cdot 5}{4cdot 6}}={frac {18}{24}}+{frac {20}{24}}&={frac {19}{12}}\&={frac {3cdot 3}{4cdot 3}}+{frac {2cdot 5}{2cdot 6}}={frac {9}{12}}+{frac {10}{12}}&={frac {19}{12}}end{aligned}}}$

The smallest possible denominator is given by the least common multiple of the single denominators, which results from dividing the rote multiple by all common factors of the single denominators. This is called the least common denominator.

Subtraction

The process for subtracting fractions is, in essence, the same as that of adding them: find a common denominator, and change each fraction to an equivalent fraction with the chosen common denominator. The resulting fraction will have that denominator, and its numerator will be the result of subtracting the numerators of the original fractions. For instance,

${tfrac {2}{3}}-{tfrac {1}{2}}={tfrac {4}{6}}-{tfrac {3}{6}}={tfrac {1}{6}}$

Multiplication

Multiplying a fraction by another fraction

To multiply fractions, multiply the numerators and multiply the denominators. Thus:

${displaystyle {frac {2}{3}}times {frac {3}{4}}={frac {6}{12}}}$

To explain the process, consider one third of one quarter. Using the example of a cake, if three small slices of equal size make up a quarter, and four quarters make up a whole, twelve of these small, equal slices make up a whole. Therefore, a third of a quarter is a twelfth. Now consider the numerators. The first fraction, two thirds, is twice as large as one third. Since one third of a quarter is one twelfth, two thirds of a quarter is two twelfth. The second fraction, three quarters, is three times as large as one quarter, so two thirds of three quarters is three times as large as two thirds of one quarter. Thus two thirds times three quarters is six twelfths.

A short cut for multiplying fractions is called «cancellation». Effectively the answer is reduced to lowest terms during multiplication. For example:

${displaystyle {frac {2}{3}}times {frac {3}{4}}={frac {{cancel {2}}^{~1}}{{cancel {3}}^{~1}}}times {frac {{cancel {3}}^{~1}}{{cancel {4}}^{~2}}}={frac {1}{1}}times {frac {1}{2}}={frac {1}{2}}}$

A two is a common factor in both the numerator of the left fraction and the denominator of the right and is divided out of both. Three is a common factor of the left denominator and right numerator and is divided out of both.

Multiplying a fraction by a whole number

Since a whole number can be rewritten as itself divided by 1, normal fraction multiplication rules can still apply.

$6times {tfrac {3}{4}}={tfrac {6}{1}}times {tfrac {3}{4}}={tfrac {18}{4}}$

This method works because the fraction 6/1 means six equal parts, each one of which is a whole.

Multiplying mixed numbers

When multiplying mixed numbers, it is considered preferable to convert the mixed number into an improper fraction.^[23] For example:

${displaystyle 3times 2{frac {3}{4}}=3times left({frac {8}{4}}+{frac {3}{4}}right)=3times {frac {11}{4}}={frac {33}{4}}=8{frac {1}{4}}}$

In other words, $2{tfrac {3}{4}}$ is the same as ${tfrac {8}{4}}+{tfrac {3}{4}}$ , making 11 quarters in total (because 2 cakes, each split into quarters makes 8 quarters total) and 33 quarters is $8{tfrac {1}{4}}$ , since 8 cakes, each made of quarters, is 32 quarters in total.

Division

To divide a fraction by a whole number, you may either divide the numerator by the number, if it goes evenly into the numerator, or multiply the denominator by the number. For example, ${tfrac {10}{3}}div 5$ equals ${tfrac {2}{3}}$ and also equals ${tfrac {10}{3cdot 5}}={tfrac {10}{15}}$ , which reduces to ${tfrac {2}{3}}$ . To divide a number by a fraction, multiply that number by the reciprocal of that fraction. Thus, ${tfrac {1}{2}}div {tfrac {3}{4}}={tfrac {1}{2}}times {tfrac {4}{3}}={tfrac {1cdot 4}{2cdot 3}}={tfrac {2}{3}}$ .

Converting between decimals and fractions

To change a common fraction to a decimal, do a long division of the decimal representations of the numerator by the denominator (this is idiomatically also phrased as «divide the denominator into the numerator»), and round the answer to the desired accuracy. For example, to change 1/4 to a decimal, divide 1.00 by 4 («4 into 1.00«), to obtain 0.25. To change 1/3 to a decimal, divide 1.000… by 3 («3 into 1.000…«), and stop when the desired accuracy is obtained, e.g., at 4 decimals with 0.3333. The fraction 1/4 can be written exactly with two decimal digits, while the fraction 1/3 cannot be written exactly as a decimal with a finite number of digits. To change a decimal to a fraction, write in the denominator a 1 followed by as many zeroes as there are digits to the right of the decimal point, and write in the numerator all the digits of the original decimal, just omitting the decimal point. Thus ${displaystyle 12.3456={tfrac {123456}{10000}}.}$

Converting repeating decimals to fractions

Decimal numbers, while arguably more useful to work with when performing calculations, sometimes lack the precision that common fractions have. Sometimes an infinite repeating decimal is required to reach the same precision. Thus, it is often useful to convert repeating decimals into fractions.

A conventional way to indicate a repeating decimal is to place a bar (known as a vinculum) over the digits that repeat, for example 0.789 = 0.789789789… For repeating patterns that begin immediately after the decimal point, the result of the conversion is the fraction with the pattern as a numerator, and the same number of nines as a denominator. For example:

0.5 = 5/9

0.62 = 62/99

0.264 = 264/999

0.6291 = 6291/9999

If leading zeros precede the pattern, the nines are suffixed by the same number of trailing zeros:

0.05 = 5/90

0.000392 = 392/999000

0.0012 = 12/9900

If a non-repeating set of decimals precede the pattern (such as 0.1523987), one may write the number as the sum of the non-repeating and repeating parts, respectively:

0.1523 + 0.0000987

Then, convert both parts to fractions, and add them using the methods described above:

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

Alternatively, algebra can be used, such as below:

Let x = the repeating decimal:

x = 0.1523987
Multiply both sides by the power of 10 just great enough (in this case 10⁴) to move the decimal point just before the repeating part of the decimal number:

10,000x = 1,523.987
Multiply both sides by the power of 10 (in this case 10³) that is the same as the number of places that repeat:

10,000,000x = 1,523,987.987
Subtract the two equations from each other (if a = b and c = d, then a − c = b − d):

10,000,000x − 10,000x = 1,523,987.987 − 1,523.987
Continue the subtraction operation to clear the repeating decimal:

9,990,000x = 1,523,987 − 1,523

9,990,000x = 1,522,464
Divide both sides by 9,990,000 to represent x as a fraction

x = 1522464/9990000

Fractions in abstract mathematics

In addition to being of great practical importance, fractions are also studied by mathematicians, who check that the rules for fractions given above are consistent and reliable. Mathematicians define a fraction as an ordered pair (a,b) of integers and for which the operations addition, subtraction, multiplication, and division are defined as follows:^[24]

{displaystyle (a,b)div (c,d)=(ad,bc)quad ({text{with, additionally, }}cneq 0)}

These definitions agree in every case with the definitions given above; only the notation is different. Alternatively, instead of defining subtraction and division as operations, the «inverse» fractions with respect to addition and multiplication might be defined as:

${displaystyle {begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{text{additive inverse fractions,}}\&&&{text{with }}(0,b){text{ as additive unities, and}}\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{text{multiplicative inverse fractions, for }}aneq 0,\&&&{text{with }}(b,b){text{ as multiplicative unities}}.end{aligned}}}$

Furthermore, the relation, specified as

{displaystyle (a,b)sim (c,d)quad iff quad ad=bc,}

is an equivalence relation of fractions. Each fraction from one equivalence class may be considered as a representative for the whole class, and each whole class may be considered as one abstract fraction. This equivalence is preserved by the above defined operations, i.e., the results of operating on fractions are independent of the selection of representatives from their equivalence class. Formally, for addition of fractions

and

{displaystyle quad (c,d)sim (c',d')quad }

imply

{displaystyle ((a,b)+(c,d))sim ((a',b')+(c',d'))}

and similarly for the other operations.

In the case of fractions of integers, the fractions a/b with a and b coprime and b > 0 are often taken as uniquely determined representatives for their equivalent fractions, which are considered to be the same rational number. This way the fractions of integers make up the field of the rational numbers.

More generally, a and b may be elements of any integral domain R, in which case a fraction is an element of the field of fractions of R. For example, polynomials in one indeterminate, with coefficients from some integral domain D, are themselves an integral domain, call it P. So for a and b elements of P, the generated field of fractions is the field of rational fractions (also known as the field of rational functions).

Algebraic fractions

An algebraic fraction is the indicated quotient of two algebraic expressions. As with fractions of integers, the denominator of an algebraic fraction cannot be zero. Two examples of algebraic fractions are ${frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ and ${frac {sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ . Algebraic fractions are subject to the same field properties as arithmetic fractions.

If the numerator and the denominator are polynomials, as in ${frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ , the algebraic fraction is called a rational fraction (or rational expression). An irrational fraction is one that is not rational, as, for example, one that contains the variable under a fractional exponent or root, as in ${frac {sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ .

The terminology used to describe algebraic fractions is similar to that used for ordinary fractions. For example, an algebraic fraction is in lowest terms if the only factors common to the numerator and the denominator are 1 and −1. An algebraic fraction whose numerator or denominator, or both, contain a fraction, such as ${frac {1+{tfrac {1}{x}}}{1-{tfrac {1}{x}}}}$ , is called a complex fraction.

The field of rational numbers is the field of fractions of the integers, while the integers themselves are not a field but rather an integral domain. Similarly, the rational fractions with coefficients in a field form the field of fractions of polynomials with coefficient in that field. Considering the rational fractions with real coefficients, radical expressions representing numbers, such as are also rational fractions, as are a transcendental numbers such as since all of and are real numbers, and thus considered as coefficients. These same numbers, however, are not rational fractions with integer coefficients.

The term partial fraction is used when decomposing rational fractions into sums of simpler fractions. For example, the rational fraction ${displaystyle {frac {2x}{x^{2}-1}}}$ can be decomposed as the sum of two fractions: ${displaystyle {frac {1}{x+1}}+{frac {1}{x-1}}.}$ This is useful for the computation of antiderivatives of rational functions (see partial fraction decomposition for more).

Radical expressions

A fraction may also contain radicals in the numerator or the denominator. If the denominator contains radicals, it can be helpful to rationalize it (compare Simplified form of a radical expression), especially if further operations, such as adding or comparing that fraction to another, are to be carried out. It is also more convenient if division is to be done manually. When the denominator is a monomial square root, it can be rationalized by multiplying both the top and the bottom of the fraction by the denominator:

${frac {3}{sqrt {7}}}={frac {3}{sqrt {7}}}cdot {frac {sqrt {7}}{sqrt {7}}}={frac {3{sqrt {7}}}{7}}$

The process of rationalization of binomial denominators involves multiplying the top and the bottom of a fraction by the conjugate of the denominator so that the denominator becomes a rational number. For example:

${displaystyle {frac {3}{3-2{sqrt {5}}}}={frac {3}{3-2{sqrt {5}}}}cdot {frac {3+2{sqrt {5}}}{3+2{sqrt {5}}}}={frac {3(3+2{sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{sqrt {5}})^{2}}}={frac {3(3+2{sqrt {5}})}{9-20}}=-{frac {9+6{sqrt {5}}}{11}}}$

${displaystyle {frac {3}{3+2{sqrt {5}}}}={frac {3}{3+2{sqrt {5}}}}cdot {frac {3-2{sqrt {5}}}{3-2{sqrt {5}}}}={frac {3(3-2{sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{sqrt {5}})^{2}}}={frac {3(3-2{sqrt {5}})}{9-20}}=-{frac {9-6{sqrt {5}}}{11}}}$

Even if this process results in the numerator being irrational, like in the examples above, the process may still facilitate subsequent manipulations by reducing the number of irrationals one has to work with in the denominator.

Typographical variations

In computer displays and typography, simple fractions are sometimes printed as a single character, e.g. ½ (one half). See the article on Number Forms for information on doing this in Unicode.

Scientific publishing distinguishes four ways to set fractions, together with guidelines on use:^[25]

Special fractions: fractions that are presented as a single character with a slanted bar, with roughly the same height and width as other characters in the text. Generally used for simple fractions, such as: ½, ⅓, ⅔, ¼, and ¾. Since the numerals are smaller, legibility can be an issue, especially for small-sized fonts. These are not used in modern mathematical notation, but in other contexts.
Case fractions: similar to special fractions, these are rendered as a single typographical character, but with a horizontal bar, thus making them upright. An example would be ${tfrac {1}{2}}$ , but rendered with the same height as other characters. Some sources include all rendering of fractions as case fractions if they take only one typographical space, regardless of the direction of the bar.^[26]
Shilling or solidus fractions: 1/2, so called because this notation was used for pre-decimal British currency (£sd), as in «2/6» for a half crown, meaning two shillings and six pence. While the notation «two shillings and six pence» did not represent a fraction, the forward slash is now used in fractions, especially for fractions inline with prose (rather than displayed), to avoid uneven lines. It is also used for fractions within fractions (complex fractions) or within exponents to increase legibility. Fractions written this way, also known as piece fractions,^[27] are written all on one typographical line, but take 3 or more typographical spaces.
Built-up fractions: ${frac {1}{2}}$ . This notation uses two or more lines of ordinary text and results in a variation in spacing between lines when included within other text. While large and legible, these can be disruptive, particularly for simple fractions or within complex fractions.

History

The earliest fractions were reciprocals of integers: ancient symbols representing one part of two, one part of three, one part of four, and so on.^[28] The Egyptians used Egyptian fractions c. 1000 BC. About 4000 years ago, Egyptians divided with fractions using slightly different methods. They used least common multiples with unit fractions. Their methods gave the same answer as modern methods.^[29] The Egyptians also had a different notation for dyadic fractions in the Akhmim Wooden Tablet and several Rhind Mathematical Papyrus problems.

The Greeks used unit fractions and (later) continued fractions. Followers of the Greek philosopher Pythagoras (c. 530 BC) discovered that the square root of two cannot be expressed as a fraction of integers. (This is commonly though probably erroneously ascribed to Hippasus of Metapontum, who is said to have been executed for revealing this fact.) In 150 BC Jain mathematicians in India wrote the «Sthananga Sutra», which contains work on the theory of numbers, arithmetical operations, and operations with fractions.

A modern expression of fractions known as bhinnarasi seems to have originated in India in the work of Aryabhatta (c. AD 500),^{[citation needed]} Brahmagupta (c. 628), and Bhaskara (c. 1150).^[30] Their works form fractions by placing the numerators (Sanskrit: amsa) over the denominators (cheda), but without a bar between them.^[30] In Sanskrit literature, fractions were always expressed as an addition to or subtraction from an integer.^{[citation needed]} The integer was written on one line and the fraction in its two parts on the next line. If the fraction was marked by a small circle ⟨०⟩ or cross ⟨+⟩, it is subtracted from the integer; if no such sign appears, it is understood to be added. For example, Bhaskara I writes:^[31]

६ १ २

१ १ १_०

४ ५ ९

which is the equivalent of

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

and would be written in modern notation as 61/4, 11/5, and 2 − 1/9 (i.e., 18/9).

The horizontal fraction bar is first attested in the work of Al-Hassār (fl. 1200),^[30] a Muslim mathematician from Fez, Morocco, who specialized in Islamic inheritance jurisprudence. In his discussion he writes: «for example, if you are told to write three-fifths and a third of a fifth, write thus, ${frac {3quad 1}{5quad 3}}$ «.^[32] The same fractional notation—with the fraction given before the integer^[30]—appears soon after in the work of Leonardo Fibonacci in the 13th century.^[33]

In discussing the origins of decimal fractions, Dirk Jan Struik states:^[34]

The introduction of decimal fractions as a common computational practice can be dated back to the Flemish pamphlet De Thiende, published at Leyden in 1585, together with a French translation, La Disme, by the Flemish mathematician Simon Stevin (1548–1620), then settled in the Northern Netherlands. It is true that decimal fractions were used by the Chinese many centuries before Stevin and that the Persian astronomer Al-Kāshī used both decimal and sexagesimal fractions with great ease in his Key to arithmetic (Samarkand, early fifteenth century).^[35]

While the Persian mathematician Jamshīd al-Kāshī claimed to have discovered decimal fractions himself in the 15th century, J. Lennart Berggren notes that he was mistaken, as decimal fractions were first used five centuries before him by the Baghdadi mathematician Abu’l-Hasan al-Uqlidisi as early as the 10th century.^[36]^{[n 2]}

In formal education

Pedagogical tools

In primary schools, fractions have been demonstrated through Cuisenaire rods, Fraction Bars, fraction strips, fraction circles, paper (for folding or cutting), pattern blocks, pie-shaped pieces, plastic rectangles, grid paper, dot paper, geoboards, counters and computer software.

Documents for teachers

Several states in the United States have adopted learning trajectories from the Common Core State Standards Initiative’s guidelines for mathematics education. Aside from sequencing the learning of fractions and operations with fractions, the document provides the following definition of a fraction: «A number expressible in the form / where is a whole number and is a positive whole number. (The word fraction in these standards always refers to a non-negative number.)»^[38] The document itself also refers to negative fractions.

Notes

^ Some typographers such as Bringhurst mistakenly distinguish the slash ⟨/⟩ as the virgule and the fraction slash ⟨⁄⟩ as the solidus,^[6] although in fact both are synonyms for the standard slash.^[7]^[8]
^ While there is some disagreement among history of mathematics scholars as to the primacy of al-Uqlidisi’s contribution, there is no question as to his major contribution to the concept of decimal fractions.^[37]

References

^ H. Wu, «The Mis-Education of Mathematics Teachers», Notices of the American Mathematical Society, Volume 58, Issue 03 (March 2011), p. 374. Archived 2017-08-20 at the Wayback Machine.
^ Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-511-9.
^ «Fractions». www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-27.
^ ^a ^b Ambrose, Gavin; et al. (2006). The Fundamentals of Typography (2nd ed.). Lausanne: AVA Publishing. p. 74. ISBN 978-2-940411-76-4. Archived from the original on 2016-03-04. Retrieved 2016-02-20..
^ Weisstein, Eric W. «Fraction». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-27.
^ Bringhurst, Robert (2002). «5.2.5: Use the Virgule with Words and Dates, the Solidus with Split-level Fractions». The Elements of Typographic Style (3rd ed.). Point Roberts: Hartley & Marks. pp. 81–82. ISBN 978-0-88179-206-5.
^ «virgule, n.«. Oxford English Dictionary (1st ed.). Oxford: Oxford University Press. 1917.
^ «solidus, n.¹«. Oxford English Dictionary (1st ed.). Oxford: Oxford University Press. 1913.
^ Weisstein, Eric W. «Common Fraction». MathWorld.
^ ^a ^b David E. Smith (1 June 1958). History of Mathematics. Courier Corporation. p. 219. ISBN 978-0-486-20430-7.
^ «World Wide Words: Vulgar fractions». World Wide Words. Archived from the original on 2014-10-30. Retrieved 2014-10-30.
^ Weisstein, Eric W. «Improper Fraction». MathWorld.
^ Jack Williams (19 November 2011). Robert Recorde: Tudor Polymath, Expositor and Practitioner of Computation. Springer Science & Business Media. pp. 87–. ISBN 978-0-85729-862-1.
^ Record, Robert (1654). Record’s Arithmetick: Or, the Ground of Arts: Teaching the Perfect Work and Practise of Arithmetick … Made by Mr. Robert Record … Afterward Augmented by Mr. John Dee. And Since Enlarged with a Third Part of Rules of Practise … By John Mellis. And Now Diligently Perused, Corrected … and Enlarged ; with an Appendix of Figurative Numbers … with Tables of Board and Timber Measure … the First Calculated by R. C. But Corrected, and the Latter … Calculated by Ro. Hartwell … James Flesher, and are to be sold by Edward Dod. pp. 266–.
^ Laurel (31 March 2004). «Math Forum – Ask Dr. Math: Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper?». Archived from the original on 9 November 2014. Retrieved 2014-10-30.
^ «New England Compact Math Resources». Archived from the original on 2012-04-15. Retrieved 2011-12-31.
^ Greer, A. (1986). New comprehensive mathematics for ‘O’ level (2nd ed., reprinted ed.). Cheltenham: Thornes. p. 5. ISBN 978-0-85950-159-0. Archived from the original on 2019-01-19. Retrieved 2014-07-29.
^ ^a ^b Trotter, James (1853). A complete system of arithmetic. p. 65.
^ ^a ^b Barlow, Peter (1814). A new mathematical and philosophical dictionary.
^ «complex fraction». Collins English Dictionary. Archived from the original on 2017-12-01. Retrieved 29 August 2022.
^ «Complex fraction definition and meaning». Collins English Dictionary. 2018-03-09. Archived from the original on 2017-12-01. Retrieved 2018-03-13.
^ «Compound Fractions». Sosmath.com. 1996-02-05. Archived from the original on 2018-03-14. Retrieved 2018-03-13.
^ Schoenborn, Barry; Simkins, Bradley (2010). «8. Fun with Fractions». Technical Math For Dummies. Hoboken: Wiley Publishing Inc. p. 120. ISBN 978-0-470-59874-0. OCLC 719886424. Retrieved 28 September 2020.
^ «Fraction». Encyclopedia of Mathematics. 2012-04-06. Archived from the original on 2014-10-21. Retrieved 2012-08-15.
^ Galen, Leslie Blackwell (March 2004). «Putting Fractions in Their Place» (PDF). American Mathematical Monthly. 111 (3): 238–242. doi:10.2307/4145131. JSTOR 4145131. Archived (PDF) from the original on 2011-07-13. Retrieved 2010-01-27.
^ «built fraction». allbusiness.com glossary. Archived from the original on 2013-05-26. Retrieved 2013-06-18.
^ «piece fraction». allbusiness.com glossary. Archived from the original on 2013-05-21. Retrieved 2013-06-18.
^ Eves, Howard (1990). An introduction to the history of mathematics (6th ed.). Philadelphia: Saunders College Pub. ISBN 978-0-03-029558-4.
^ Milo Gardner (December 19, 2005). «Math History». Archived from the original on December 19, 2005. Retrieved 2006-01-18. See for examples and an explanation.
^ ^a ^b ^c ^d Miller, Jeff (22 December 2014). «Earliest Uses of Various Mathematical Symbols». Archived from the original on 20 February 2016. Retrieved 15 February 2016.
^ Filliozat, Pierre-Sylvain (2004). «Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature». In Chemla, Karine; Cohen, Robert S.; Renn, Jürgen; et al. (eds.). History of Science, History of Text. Boston Series in the Philosophy of Science. Vol. 238. Dordrecht: Springer Netherlands. p. 152. doi:10.1007/1-4020-2321-9_7. ISBN 978-1-4020-2320-0.
^ Cajori, Florian (1928). A History of Mathematical Notations. Vol. 1. La Salle, Illinois: Open Court Publishing Company. p. 269. Archived from the original on 2014-04-14. Retrieved 2017-08-30.
^ Cajori (1928), p. 89
^ A Source Book in Mathematics 1200–1800. New Jersey: Princeton University Press. 1986. ISBN 978-0-691-02397-7.
^ Die Rechenkunst bei Ğamšīd b. Mas’ūd al-Kāšī. Wiesbaden: Steiner. 1951.
^ Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. p. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
^ «MacTutor’s al-Uqlidisi biography». Archived 2011-11-15 at the Wayback Machine. Retrieved 2011-11-22.
^ «Common Core State Standards for Mathematics» (PDF). Common Core State Standards Initiative. 2010. p. 85. Archived (PDF) from the original on 2013-10-19. Retrieved 2013-10-10.

External links

Wikimedia Commons has media related to Fractions.

Look up denominator in Wiktionary, the free dictionary.

Look up numerator in Wiktionary, the free dictionary.

«Fraction, arithmetical». The Online Encyclopaedia of Mathematics.
«Fraction». Encyclopædia Britannica.
«Fraction (mathematics)». Citizendium.
«Fraction». PlanetMath. Archived from the original on 25 October 2019. Retrieved 29 September 2019.

Источник

A cake with one quarter (one fourth) removed. The remaining three fourths are shown by dotted lines and labeled by the fraction 1/4

Vocabulary

Forms of fractions

Simple, common, or vulgar fractions

In Unicode, precomposed fraction characters are in the Number Forms block.

Proper and improper fractions

Reciprocals and the «invisible denominator»

Ratios

2 are white,
6 are red, and
4 are yellow,

then the ratio of red to white to yellow cars is 6 to 2 to 4. The ratio of yellow cars to white cars is 4 to 2 and may be expressed as 4:2 or 2:1.

Decimal fractions and percentages

Mixed numbers

When multiplication is intended, ${displaystyle 2{tfrac {b}{c}}}$ may be written as

${displaystyle 2cdot {frac {b}{c}},quad }$

or ${displaystyle quad 2times {frac {b}{c}},quad }$

or ${displaystyle quad 2left({frac {b}{c}}right),;ldots }$

An improper fraction can be converted to a mixed number as follows:

Using Euclidean division (division with remainder), divide the numerator by the denominator. In the example, ${tfrac {11}{4}}$ , divide 11 by 4. 11 ÷ 4 = 2 remainder 3.
The quotient (without the remainder) becomes the whole number part of the mixed number. The remainder becomes the numerator of the fractional part. In the example, 2 is the whole number part and 3 is the numerator of the fractional part.
The new denominator is the same as the denominator of the improper fraction. In the example, it is 4. Thus, ${tfrac {11}{4}}=2{tfrac {3}{4}}$ .

Historical notions

Egyptian fraction

Complex and compound fractions

${displaystyle {frac {tfrac {1}{2}}{tfrac {1}{3}}}={tfrac {1}{2}}times {tfrac {3}{1}}={tfrac {3}{2}}}$

${frac {12{tfrac {3}{4}}}{26}}=12{tfrac {3}{4}}cdot {tfrac {1}{26}}={tfrac {12cdot 4+3}{4}}cdot {tfrac {1}{26}}={tfrac {51}{4}}cdot {tfrac {1}{26}}={tfrac {51}{104}}$

${frac {tfrac {3}{2}}{5}}={tfrac {3}{2}}times {tfrac {1}{5}}={tfrac {3}{10}}$

${displaystyle {frac {8}{tfrac {1}{3}}}=8times {tfrac {3}{1}}=24.}$

${displaystyle 5/(10/(20/40))={frac {5}{10/{tfrac {20}{40}}}}={frac {1}{4}}quad }$

or as ${displaystyle quad (5/10)/(20/40)={frac {tfrac {5}{10}}{tfrac {20}{40}}}=1}$

Arithmetic with fractions

Like whole numbers, fractions obey the commutative, associative, and distributive laws, and the rule against division by zero.

Equivalent fractions

Simplifying (reducing) fractions

Using these rules, we can show that ${displaystyle {tfrac {5}{10}}={tfrac {1}{2}}={tfrac {10}{20}}={tfrac {50}{100}}}$ , for example.

As another example, since the greatest common divisor of 63 and 462 is 21, the fraction ${tfrac {63}{462}}$ can be reduced to lowest terms by dividing the numerator and denominator by 21:

${displaystyle {tfrac {63}{462}}={tfrac {63,div ,21}{462,div ,21}}={tfrac {3}{22}}}$

The Euclidean algorithm gives a method for finding the greatest common divisor of any two integers.

Comparing fractions

Comparing fractions with the same positive denominator yields the same result as comparing the numerators:

${tfrac {3}{4}}>{tfrac {2}{4}}$

because 3 > 2, and the equal denominators

are positive.

If the equal denominators are negative, then the opposite result of comparing the numerators holds for the fractions:

${displaystyle {tfrac {3}{-4}}<{tfrac {2}{-4}}{text{ because }}{tfrac {a}{-b}}={tfrac {-a}{b}}{text{ and }}-3<-2.}$

Addition

${tfrac {2}{4}}+{tfrac {3}{4}}={tfrac {5}{4}}=1{tfrac {1}{4}}$

If ${tfrac {1}{2}}$ of a cake is to be added to ${tfrac {1}{4}}$ of a cake, the pieces need to be converted into comparable quantities, such as cake-eighths or cake-quarters.

Adding unlike quantities

For adding quarters to thirds, both types of fraction are converted to twelfths, thus:

${displaystyle {frac {1}{4}} +{frac {1}{3}}={frac {1times 3}{4times 3}} +{frac {1times 4}{3times 4}}={frac {3}{12}} +{frac {4}{12}}={frac {7}{12}}.}$

Consider adding the following two quantities:

${displaystyle {frac {3}{5}}+{frac {2}{3}}}$

Second, convert ${tfrac {2}{3}}$ into fifteenths by multiplying both the numerator and denominator by five: ${tfrac {2}{3}}times {tfrac {5}{5}}={tfrac {10}{15}}$ .

Now it can be seen that:

${displaystyle {frac {3}{5}}+{frac {2}{3}}}$

is equivalent to:

${displaystyle {frac {9}{15}}+{frac {10}{15}}={frac {19}{15}}=1{frac {4}{15}}}$

This method can be expressed algebraically:

${displaystyle {frac {a}{b}}+{frac {c}{d}}={frac {ad+cb}{bd}}}$

Subtraction

${tfrac {2}{3}}-{tfrac {1}{2}}={tfrac {4}{6}}-{tfrac {3}{6}}={tfrac {1}{6}}$

Multiplication

Multiplying a fraction by another fraction

To multiply fractions, multiply the numerators and multiply the denominators. Thus:

${displaystyle {frac {2}{3}}times {frac {3}{4}}={frac {6}{12}}}$

A short cut for multiplying fractions is called «cancellation». Effectively the answer is reduced to lowest terms during multiplication. For example:

${displaystyle {frac {2}{3}}times {frac {3}{4}}={frac {{cancel {2}}^{~1}}{{cancel {3}}^{~1}}}times {frac {{cancel {3}}^{~1}}{{cancel {4}}^{~2}}}={frac {1}{1}}times {frac {1}{2}}={frac {1}{2}}}$

Multiplying a fraction by a whole number

Since a whole number can be rewritten as itself divided by 1, normal fraction multiplication rules can still apply.

$6times {tfrac {3}{4}}={tfrac {6}{1}}times {tfrac {3}{4}}={tfrac {18}{4}}$

This method works because the fraction 6/1 means six equal parts, each one of which is a whole.

Multiplying mixed numbers

When multiplying mixed numbers, it is considered preferable to convert the mixed number into an improper fraction.^[23] For example:

${displaystyle 3times 2{frac {3}{4}}=3times left({frac {8}{4}}+{frac {3}{4}}right)=3times {frac {11}{4}}={frac {33}{4}}=8{frac {1}{4}}}$

Division

Converting between decimals and fractions

Converting repeating decimals to fractions

0.5 = 5/9

0.62 = 62/99

0.264 = 264/999

0.6291 = 6291/9999

If leading zeros precede the pattern, the nines are suffixed by the same number of trailing zeros:

0.05 = 5/90

0.000392 = 392/999000

0.0012 = 12/9900

If a non-repeating set of decimals precede the pattern (such as 0.1523987), one may write the number as the sum of the non-repeating and repeating parts, respectively:

0.1523 + 0.0000987

Then, convert both parts to fractions, and add them using the methods described above:

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

Alternatively, algebra can be used, such as below:

Let x = the repeating decimal:

x = 0.1523987
Multiply both sides by the power of 10 just great enough (in this case 10⁴) to move the decimal point just before the repeating part of the decimal number:

10,000x = 1,523.987
Multiply both sides by the power of 10 (in this case 10³) that is the same as the number of places that repeat:

10,000,000x = 1,523,987.987
Subtract the two equations from each other (if a = b and c = d, then a − c = b − d):

10,000,000x − 10,000x = 1,523,987.987 − 1,523.987
Continue the subtraction operation to clear the repeating decimal:

9,990,000x = 1,523,987 − 1,523

9,990,000x = 1,522,464
Divide both sides by 9,990,000 to represent x as a fraction

x = 1522464/9990000

Fractions in abstract mathematics

Furthermore, the relation, specified as

and

imply

and similarly for the other operations.

Algebraic fractions

Radical expressions

${frac {3}{sqrt {7}}}={frac {3}{sqrt {7}}}cdot {frac {sqrt {7}}{sqrt {7}}}={frac {3{sqrt {7}}}{7}}$

Typographical variations

In computer displays and typography, simple fractions are sometimes printed as a single character, e.g. ½ (one half). See the article on Number Forms for information on doing this in Unicode.

Scientific publishing distinguishes four ways to set fractions, together with guidelines on use:^[25]

Special fractions: fractions that are presented as a single character with a slanted bar, with roughly the same height and width as other characters in the text. Generally used for simple fractions, such as: ½, ⅓, ⅔, ¼, and ¾. Since the numerals are smaller, legibility can be an issue, especially for small-sized fonts. These are not used in modern mathematical notation, but in other contexts.
Case fractions: similar to special fractions, these are rendered as a single typographical character, but with a horizontal bar, thus making them upright. An example would be ${tfrac {1}{2}}$ , but rendered with the same height as other characters. Some sources include all rendering of fractions as case fractions if they take only one typographical space, regardless of the direction of the bar.^[26]
Shilling or solidus fractions: 1/2, so called because this notation was used for pre-decimal British currency (£sd), as in «2/6» for a half crown, meaning two shillings and six pence. While the notation «two shillings and six pence» did not represent a fraction, the forward slash is now used in fractions, especially for fractions inline with prose (rather than displayed), to avoid uneven lines. It is also used for fractions within fractions (complex fractions) or within exponents to increase legibility. Fractions written this way, also known as piece fractions,^[27] are written all on one typographical line, but take 3 or more typographical spaces.
Built-up fractions: ${frac {1}{2}}$ . This notation uses two or more lines of ordinary text and results in a variation in spacing between lines when included within other text. While large and legible, these can be disruptive, particularly for simple fractions or within complex fractions.

History

६ १ २

१ १ १_०

४ ५ ९

which is the equivalent of

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

and would be written in modern notation as 61/4, 11/5, and 2 − 1/9 (i.e., 18/9).

In discussing the origins of decimal fractions, Dirk Jan Struik states:^[34]

The introduction of decimal fractions as a common computational practice can be dated back to the Flemish pamphlet De Thiende, published at Leyden in 1585, together with a French translation, La Disme, by the Flemish mathematician Simon Stevin (1548–1620), then settled in the Northern Netherlands. It is true that decimal fractions were used by the Chinese many centuries before Stevin and that the Persian astronomer Al-Kāshī used both decimal and sexagesimal fractions with great ease in his Key to arithmetic (Samarkand, early fifteenth century).^[35]

In formal education

Pedagogical tools

Documents for teachers

Notes

^ Some typographers such as Bringhurst mistakenly distinguish the slash ⟨/⟩ as the virgule and the fraction slash ⟨⁄⟩ as the solidus,^[6] although in fact both are synonyms for the standard slash.^[7]^[8]
^ While there is some disagreement among history of mathematics scholars as to the primacy of al-Uqlidisi’s contribution, there is no question as to his major contribution to the concept of decimal fractions.^[37]

References

^ H. Wu, «The Mis-Education of Mathematics Teachers», Notices of the American Mathematical Society, Volume 58, Issue 03 (March 2011), p. 374. Archived 2017-08-20 at the Wayback Machine.
^ Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-511-9.
^ «Fractions». www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-27.
^ ^a ^b Ambrose, Gavin; et al. (2006). The Fundamentals of Typography (2nd ed.). Lausanne: AVA Publishing. p. 74. ISBN 978-2-940411-76-4. Archived from the original on 2016-03-04. Retrieved 2016-02-20..
^ Weisstein, Eric W. «Fraction». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-27.
^ Bringhurst, Robert (2002). «5.2.5: Use the Virgule with Words and Dates, the Solidus with Split-level Fractions». The Elements of Typographic Style (3rd ed.). Point Roberts: Hartley & Marks. pp. 81–82. ISBN 978-0-88179-206-5.
^ «virgule, n.«. Oxford English Dictionary (1st ed.). Oxford: Oxford University Press. 1917.
^ «solidus, n.¹«. Oxford English Dictionary (1st ed.). Oxford: Oxford University Press. 1913.
^ Weisstein, Eric W. «Common Fraction». MathWorld.
^ ^a ^b David E. Smith (1 June 1958). History of Mathematics. Courier Corporation. p. 219. ISBN 978-0-486-20430-7.
^ «World Wide Words: Vulgar fractions». World Wide Words. Archived from the original on 2014-10-30. Retrieved 2014-10-30.
^ Weisstein, Eric W. «Improper Fraction». MathWorld.
^ Jack Williams (19 November 2011). Robert Recorde: Tudor Polymath, Expositor and Practitioner of Computation. Springer Science & Business Media. pp. 87–. ISBN 978-0-85729-862-1.
^ Record, Robert (1654). Record’s Arithmetick: Or, the Ground of Arts: Teaching the Perfect Work and Practise of Arithmetick … Made by Mr. Robert Record … Afterward Augmented by Mr. John Dee. And Since Enlarged with a Third Part of Rules of Practise … By John Mellis. And Now Diligently Perused, Corrected … and Enlarged ; with an Appendix of Figurative Numbers … with Tables of Board and Timber Measure … the First Calculated by R. C. But Corrected, and the Latter … Calculated by Ro. Hartwell … James Flesher, and are to be sold by Edward Dod. pp. 266–.
^ Laurel (31 March 2004). «Math Forum – Ask Dr. Math: Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper?». Archived from the original on 9 November 2014. Retrieved 2014-10-30.
^ «New England Compact Math Resources». Archived from the original on 2012-04-15. Retrieved 2011-12-31.
^ Greer, A. (1986). New comprehensive mathematics for ‘O’ level (2nd ed., reprinted ed.). Cheltenham: Thornes. p. 5. ISBN 978-0-85950-159-0. Archived from the original on 2019-01-19. Retrieved 2014-07-29.
^ ^a ^b Trotter, James (1853). A complete system of arithmetic. p. 65.
^ ^a ^b Barlow, Peter (1814). A new mathematical and philosophical dictionary.
^ «complex fraction». Collins English Dictionary. Archived from the original on 2017-12-01. Retrieved 29 August 2022.
^ «Complex fraction definition and meaning». Collins English Dictionary. 2018-03-09. Archived from the original on 2017-12-01. Retrieved 2018-03-13.
^ «Compound Fractions». Sosmath.com. 1996-02-05. Archived from the original on 2018-03-14. Retrieved 2018-03-13.
^ Schoenborn, Barry; Simkins, Bradley (2010). «8. Fun with Fractions». Technical Math For Dummies. Hoboken: Wiley Publishing Inc. p. 120. ISBN 978-0-470-59874-0. OCLC 719886424. Retrieved 28 September 2020.
^ «Fraction». Encyclopedia of Mathematics. 2012-04-06. Archived from the original on 2014-10-21. Retrieved 2012-08-15.
^ Galen, Leslie Blackwell (March 2004). «Putting Fractions in Their Place» (PDF). American Mathematical Monthly. 111 (3): 238–242. doi:10.2307/4145131. JSTOR 4145131. Archived (PDF) from the original on 2011-07-13. Retrieved 2010-01-27.
^ «built fraction». allbusiness.com glossary. Archived from the original on 2013-05-26. Retrieved 2013-06-18.
^ «piece fraction». allbusiness.com glossary. Archived from the original on 2013-05-21. Retrieved 2013-06-18.
^ Eves, Howard (1990). An introduction to the history of mathematics (6th ed.). Philadelphia: Saunders College Pub. ISBN 978-0-03-029558-4.
^ Milo Gardner (December 19, 2005). «Math History». Archived from the original on December 19, 2005. Retrieved 2006-01-18. See for examples and an explanation.
^ ^a ^b ^c ^d Miller, Jeff (22 December 2014). «Earliest Uses of Various Mathematical Symbols». Archived from the original on 20 February 2016. Retrieved 15 February 2016.
^ Filliozat, Pierre-Sylvain (2004). «Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature». In Chemla, Karine; Cohen, Robert S.; Renn, Jürgen; et al. (eds.). History of Science, History of Text. Boston Series in the Philosophy of Science. Vol. 238. Dordrecht: Springer Netherlands. p. 152. doi:10.1007/1-4020-2321-9_7. ISBN 978-1-4020-2320-0.
^ Cajori, Florian (1928). A History of Mathematical Notations. Vol. 1. La Salle, Illinois: Open Court Publishing Company. p. 269. Archived from the original on 2014-04-14. Retrieved 2017-08-30.
^ Cajori (1928), p. 89
^ A Source Book in Mathematics 1200–1800. New Jersey: Princeton University Press. 1986. ISBN 978-0-691-02397-7.
^ Die Rechenkunst bei Ğamšīd b. Mas’ūd al-Kāšī. Wiesbaden: Steiner. 1951.
^ Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. p. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
^ «MacTutor’s al-Uqlidisi biography». Archived 2011-11-15 at the Wayback Machine. Retrieved 2011-11-22.
^ «Common Core State Standards for Mathematics» (PDF). Common Core State Standards Initiative. 2010. p. 85. Archived (PDF) from the original on 2013-10-19. Retrieved 2013-10-10.

External links

Wikimedia Commons has media related to Fractions.

Look up denominator in Wiktionary, the free dictionary.

Look up numerator in Wiktionary, the free dictionary.

«Fraction, arithmetical». The Online Encyclopaedia of Mathematics.
«Fraction». Encyclopædia Britannica.
«Fraction (mathematics)». Citizendium.
«Fraction». PlanetMath. Archived from the original on 25 October 2019. Retrieved 29 September 2019.

Источник

Рассмотрение данной темы мы начнем с изучения понятия доли в целом, которое даст нам более полное понимание смысла обыкновенной дроби. Дадим основные термины и их определение, изучим тему в геометрическом толковании, т.е. на координатной прямой, а также определим список основных действий с дробями.

Доли целого

Представим некий предмет, состоящий из нескольких, совершенно равных частей. Например, это может быть апельсин, состоящий из нескольких одинаковых долек.

Определение 1

Доля целого или доля – это каждая из равных частей, составляющих целый предмет.

Очевидно, что доли могут быть разные. Чтобы наглядно пояснить это утверждение, представим два яблока, одно из которых разрезано на две равные части, а второе – на четыре. Ясно, что размеры получившихся долей у разных яблок будут различаться.

Доли имеют свои названия, которые зависят от количества долей, составляющих целый предмет. Если предмет имеет две доли, то каждая из них будет определяться как одна вторая доля этого предмета; когда предмет состоит из трех долей, то каждая из них – одна третья и так далее.

Определение 2

Половина – одна вторая доля предмета.

Треть – одна третья доля предмета.

Четверть – одна четвертая доля предмета.

Чтобы сократить запись, ввели следующие обозначения долей: половина — 12 или 1/2; треть — 13 или 1/3; одна четвертая доля — 14 или 1/4 и так далее. Записи с горизонтальной чертой используются чаще.

Понятие доли естественно расширяется с предметов на величины. Так, можно использовать для измерения небольших предметов доли метра (треть или одна сотая), как одной из единиц измерения длины. Аналогичным образом можно применить доли других величин.

Обыкновенные дроби, определение и примеры

Обыкновенные дробиприменяются для описания количества долей. Рассмотрим простой пример, который приблизит нас к определению обыкновенной дроби.

Представим апельсин, состоящий из 12 долек. Каждая доля тогда будет – одна двенадцатая или 1/12. Две доли – 2/12; три доли – 3/12 и т.д. Все 12 долей или целое число будет выглядеть так: 12/12. Каждая из используемых в примере записей является примером обыкновенной дроби.

Определение 3

Обыкновенная дробь – это запись вида mn или m/n, где m и n являются любыми натуральными числами.

Согласно данному определению, примерами обыкновенных дробей могут быть записи: 4/9, 1134, 91754. А такие записи: 115, 1,94,3 не являются обыкновенными дробями.

Числитель и знаменатель

Определение 4

Числителем обыкновенной дроби mn или m/n является натуральное число m.

Знаменателем обыкновенной дроби mn или m/n является натуральное число n.

Т.е. числитель – число, расположенное сверху над чертой обыкновенной дроби (или слева от наклонной черты), а знаменатель – число, расположенное под чертой (справа от наклонной черты).

Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь 754 указывает нам на то, что некий предмет состоит из 54 долей, и для рассмотрения мы взяли 7 таких долей.

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В таком случае возможно говорить, что рассматриваемый предмет (величина) неделим, являет собой нечто целое. Числитель в подобной дроби укажет, какое количество таких предметов взято, т.е. обыкновенная дробь вида m1 имеет смысл натурального числа m. Это утверждение служит обоснованием равенства m1 = m.

Запишем последнее равенство так: m = m1. Оно даст нам возможность любое натуральное число использовать в виде обыкновенной дроби. К примеру, число 74 – это обыкновенная дробь вида 741.

Определение 5

Любое натуральное число m возможно записать в виде обыкновенной дроби, где знаменатель – единица: m1.

В свою очередь, любая обыкновенная дробь вида m1 может быть представлена натуральным числом m.

Черта дроби как знак деления

Использованное выше представление данного предмета как n долей является не чем иным, как делением на n равных частей. Когда предмет разделен на n частей, мы имеем возможность разделить его поровну между n людьми – каждый получит свою долю.

В случае, когда мы изначально имеем m одинаковых предметов (каждый разделен на n частей), то и эти m предметов возможно поровну разделить между n людьми, дав каждому из них по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1n, а m долей 1n даст обыкновенную дробь mn. Следовательно, обыкновенную дробь mn можно использовать, чтобы обозначать деление m предметов между n людьми.

Полученное утверждение устанавливает связь между обыкновенными дробями и делением. И эту связь можно выразить следующим образом: черту дроби возможно иметь в виду в качестве знака деления, т.е. m/n = m : n.

При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление 7 яблок на 10 человек запишем как 710: каждому человеку достанется семь десятых долей.

Равные и неравные обыкновенные дроби

Логичным действием является сравнение обыкновенных дробей, ведь очевидно, что, к примеру, 18 яблока отлична от 78.

Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.

Определение 6

Равные обыкновенные дроби – обыкновенные дроби ab и cd, для которых справедливо равенство: a · d = b · c.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби ab и cd, для которых равенство: a · d = b · c не является верным.

Пример равных дробей: 13 и 412 – поскольку выполняется равенство 1 ·12 = 3 · 4.

В случае, когда выясняется, что дроби не являются равными, обычно необходимо также узнать, какая из данных дробей меньше, а какая – больше. Чтобы дать ответ на эти вопросы, обыкновенные дроби сравнивают, приводя их к общему знаменателю и затем сравнив числители.

Дробные числа

Каждая дробь – это запись дробного числа, что по сути — просто «оболочка», визуализация смысловой нагрузки. Но все же для удобства мы объединяем понятия дроби и дробного числа, говоря просто – дробь.

Дроби на координатном луче

Все дробные числа, как и любое другое число, имеют свое уникальное месторасположение на координатном луче: существует однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.

Чтобы на координатном луче найти точку, обозначающую дробь mn, необходимо от начала координат отложить в положительном направлении m отрезков, длина каждого из которых составит 1n долю единичного отрезка. Отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n одинаковых частей.

Как пример, обозначим на координатном луче точку М, которая соответствует дроби 1410. Длина отрезка, концами которого является точка О и ближайшая точка, отмеченная маленьким штрихом, равна 110 доле единичного отрезка. Точка, соответствующая дроби 1410, расположена в удалении от начала координат на расстояние 14 таких отрезков.

Если дроби равны, т.е. им соответствует одно и то же дробное число, тогда эти дроби служат координатами одной и той же точки на координатном луче. К примеру, координатам в виде равных дробей 13, 26, 39, 515, 1133 соответствует одна и та же точка на координатном луче, располагающаяся на расстоянии трети единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении.

Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.

Правильные и неправильные дроби, определения, примеры

В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.

Определение 7

Правильная дробь – это обыкновенная дробь, в которой числитель меньше, чем знаменатель. Т.е., если выполняется неравенство m < n, то обыкновенная дробь mn является правильной.

Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, числитель которой больше или равен знаменателю. Т.е., если выполняется неравенство undefined, то обыкновенная дробь mn является неправильной.

Приведем примеры: — правильные дроби:

Пример 1

5/9, 367, 138514;

— неправильные дроби:

Пример 2

13/13, 573, 901112, 167.

Также возможно дать определение правильных и неправильных дробей, опираясь на сравнение дроби с единицей.

Определение 8

Правильная дробь – обыкновенная дробь, которая меньше единицы.

Неправильная дробь – обыкновенная дробь, равная или бОльшая единицы.

Например, дробь 812 – правильная, т.к. 8 12< 1. Дроби 532 и 1414 являются неправильными, т.к. 532 > 1, а 1414 = 1.

Немного углубимся в размышление, почему дроби, в которых числитель больше или равен знаменателю получили название «неправильных».

Рассмотрим неправильную дробь 88: она сообщает нам, что взято 8 долей предмета, состоящего из 8 долей. Таким образом, из имеющихся восьми долей мы можем составить целый предмет, т.е. заданная дробь 88 по сути представляет целый предмет: 88=1. Дроби, в которых числитель и знаменатель равны, полноценно заменяет натуральное число 1.

Рассмотрим также дроби, в которых числитель превосходит знаменатель: 115 и 363. Понятно, что дробь 115 сообщает о том, что из нее мы можем составить два целых предмета и еще останется одна пятая доля. Т.е. дробь 115 – это 2 предмета и еще 15 от него. В свою очередь, 363 – дробь, означающая по сути 12 целых предметов.

Указанные примеры дают возможность сделать вывод, что неправильные дроби возможно заменить натуральными числами (если числитель без остатка делится на знаменатель: 88 = 1; 363 = 12) или суммой натурального числа и правильной дроби (если числитель не делится на знаменатель без остатка: 115 = 2 + 15). Вероятно, потому такие дроби и получили название «неправильных».

Здесь также мы сталкиваемся с одним из важнейших навыков работы с числами.

Определение 9

Выделение целой части из неправильной дроби – это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

Также отметим, что существует тесная взаимосвязь между неправильными дробями и смешанными числами.

Положительные и отрицательные дроби

Выше мы говорили о том, что каждой обыкновенной дроби соответствует положительное дробное число. Т.е. обыкновенные дроби – это положительные дроби. Например, дроби 517, 698, 6479 – положительные, и, когда необходимо особо подчеркнуть «положительность» дроби, она записывается с использованием знака плюс: +517, +698, +6479.

Если же обыкновенной дроби присвоить знак минус, то полученная запись будет являться записью отрицательного дробного числа, и мы говорим в таком случае об отрицательных дробях. Например, -817, -7814 и т.д.

Положительная и отрицательная дробиmn и -mn – противоположные числа. Например, дроби 78 и -78 являются противоположными.

Положительные дроби, как и любые положительные числа в целом, означают прибавление, изменение в сторону увеличения. В свою очередь, отрицательные дроби соответствуют расходу, изменению в сторону уменьшения.

Если мы рассмотрим координатную прямую, то увидим, что отрицательные дроби расположены левее точки начала отсчета. Точки, которым соответствуют дроби, являющиеся противоположными (mn и -mn), располагаются на одинаковом расстоянии от начала отсчета координат О, но по разные стороны от нее.

Здесь также отдельно скажем о дробях, записанных в виде 0n. Такая дробь равна нулю, т.е. 0n= 0.

Суммируя все вышесказанное, мы подошли к важнейшему понятию рациональных чисел.

Определение 10

Рациональные числа – это множество положительных дробей, отрицательных дробей и дробей вида 0n.

Действия с дробями

Перечислим основные действия с дробями. В общем и целом, суть их та же, что имеют соответствующие действия с натуральными числами

Сравнение дробей – данное действие мы рассмотрели выше.
Сложение дробей – результатом сложения обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (в частном случае сокращаемая до натурального числа).
Вычитание дробей – действие, обратно сложению, когда по одной известной дроби и заданной сумме дробей определяется неизвестная дробь.
Умножение дробей – это действие можно описать как нахождение дроби от дроби. Результат умножения двух обыкновенных дробей – обыкновенная дробь (в частном случае равная натуральному числу).
Деление дробей – действие, обратное умножению, когда мы определяем дробь, на которую необходимо умножить заданную, чтобы получить известное произведение двух дробей.

Источник

Что такое обыкновенная дробь — понятие и определение

Прежде чем дать определение термину «дробь», необходимо рассмотреть, чем она является в сущности.

Доля целого или доля числа — это каждая равная часть, которые вместе составляют целый предмет.

К примеру, апельсины обычно состоят из 10 одинаковых долек. А если торт разрезать пополам, то он будет состоять из двух долей.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

У каждой доли свое название, которое зависит от количества долей в предмете.

Половина — это одна вторая часть от целого. Долька апельсина — это одна десятая от апельсина. Если пиццу разрезать на шесть частей, то каждая часть равна одной шестой от всей пиццы.

Обыкновенная дробь — это такая запись числа в математике вида (frac mn), где m и n — любые натуральные числа.

Простыми словами, дробное число — это нецелое количество, часть целого, которая получается при «дроблении». «Целым» может быть что угодно: количество денег, еда, числа, делимые предметы и так далее.

Как выглядит, примеры записи

Всего существует два вида записи дробных чисел:

десятичный — дробь записывается через запятую в виде 0,5; 1,25; 4,379;
обыкновенный — дробь вида frac mn.

Числитель и знаменатель

Обыкновенная дробь состоит из двух натуральных чисел. Записываются они в определенном порядке. Чтобы понять этот принцип, необходимо изучение и объяснение сути дробных чисел.

В сущности, дробь — это результат деления, в котором делимое не делится на делитель полностью, без остатка. Черточка между верхней и нижней части дроби — дробная черта — равноценна знаку деления.

Числитель обыкновенной дроби вида (frac mn) — это натуральное число m, равное делимому.

Знаменатель обыкновенной дроби вида (frac mn) — это натуральное число n, равное делителю.

В зависимости от отношений числителя и знаменателя, выделяют 2 вида дробей.

Правильная дробь — та, у которой числитель меньше знаменателя.

Например, (frac25, frac{17}{42}.)

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.

Например, (frac{42}{17}, frac44.)

Обычно такие дробные числа записывают в виде целых или смешанных чисел: (5frac47, 2frac{14}{32}.)

Знаменатель показывает, из скольких частей состоит предмет. Числитель отображает, сколько таких частей рассматривается в задаче. Например, дробь (frac{11}{32}) (читается «одиннадцать тридцать вторых») указывает на то, что предмет состоит из 32 долей, и для рассмотрения взяли 11 из них.

Положительные и отрицательные дроби

Дробные числа бывают не только правильными и неправильными, но также и положительными и отрицательными.

Положительными дробями являются все дроби больше нуля: (frac{displaystyle1}{displaystyle2},;frac{displaystyle4}{displaystyle7},;frac{displaystyle18}{displaystyle45};и;т.д.)

Отрицательные дроби меньше нуля и записываются со знаком «минус»: (-frac{displaystyle2}{displaystyle3},;-frac{displaystyle5}{displaystyle9},;-frac{displaystyle22}{displaystyle30};)и др.

Положительная дробь (frac23) и отрицательная дробь (-frac23) — это противоположные числа.

Положительные дроби можно получить двумя способами:

Деление положительного числа на положительное: (3:5=frac35.)
Деление отрицательного числа на отрицательное, т. к. при таком действии «минус» на «минус» дает «плюс»: ((-7):(-9)=frac{-7}{-9}=frac79.)

Отрицательные дроби также получают двумя способами:

Деление положительного числа на отрицательное: (1:(-9)=frac1{-9}=-frac19.)
Деление отрицательного числа на положительное: ((-6):7=frac{-6}7=-frac67.)

Какие действия можно выполнять с обыкновенными дробями

Для выполнения действий с дробными числами необходимо знать их свойства.

Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, получится равная ей дробь.

В общем виде это правило записывают так: (frac mn=frac{mcdot k}{ncdot k},)

где a, b, k — натуральные числа.

Пример

(frac25=frac{2cdot3}{5cdot3}=frac6{15})

Основных действий, которые можно выполнять с дробями, несколько.

Сравнение.

Если у двух дробей равные знаменатели, то сравнивать необходимо только числители.

У положительных чисел чем больше числитель, тем больше число: (frac37>frac17.)

У отрицательных чисел чем меньше числитель, тем больше число, т. к. оно ближе к нулю: (-frac25>-frac45.)

Если знаменатели разные, то дроби необходимо сперва привести к общему знаменателю. Подробнее это действие рассмотрено в других статьях.

Сложение.

В результате сложения обыкновенных дробей получается обыкновенная дробь.

Если знаменатели одинаковые, складывать нужно только числители: (frac13+frac13=frac23.)

Если знаменатели разные, дробь необходимо привести к общему знаменателю.

Когда в результате решения получается неправильная дробь, его необходимо привести к виду целого или смешанного числа.

Вычитание.

Это действие обратно сложению. Правила действуют те же, что и при сложении: (frac7{10}-frac2{10}=frac5{10}=frac12.)

Умножение.

Результатом умножения двух обыкновенных дробей также всегда является обыкновенная дробь. При этом числитель умножается на числитель, а знаменатель умножается на знаменатель (отсюда следует, что знаменатели могут быть разные): (frac23cdotfrac34=frac{2cdot3}{3cdot4}=frac6{12}=frac12.)

Деление.

Это действие обратно умножению. Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой — на числитель второй. Иными словами, вторую дробь необходимо «перевернуть» и выполнить умножение:

(frac45:frac26=frac45cdotfrac62=frac{4cdot6}{5cdot2}=frac{24}{10}.)

Источник

Тема дробей — одна из самых непростых для школьников. Понять их неподготовленному ребенку, а тем более выполнять с ними операции, может быть достаточно сложно. Но даже самая трудная задача может стать простой и понятной, если правильно к ней подойти. Для детей нужно использовать фантазию, наглядность и элементы игры. А также – сохранять спокойствие и терпеливо объяснять, даже если это потребуется сделать много раз.

Как объяснить суть дробей ребенку?

Слово «дробь» будто говорит само за себя — оно означает дробление, деление. В школьной программе к изучению дробей приступают только в 5 классе, освоив все действия с целыми числами. Но знакомство с ними целесообразно начинать заранее, еще в старшем дошкольном возрасте. Это формирует пространственные представления у детей и тренирует логическое мышление.

Для начала нужно объяснить ребенку понятие долей. Это очень легко сделать на наглядных повседневных примерах. Самый простой и доступный — еда. Например, пирог — целый. Разделить его можно на несколько одинаковых частей. Один кусочек такого пирога и будет называться одной долей из всех возможных. Поделив пирог на четыре части, один кусочек называют одной четвертой частью.

Таким образом делить можно все, что угодно: яблоки, апельсины, плитки шоколада, конфеты в коробке и т. д. Еще один прекрасный наглядный материал для изучения дробей — кубики конструктора Lego. С их помощью можно поделить целое на равные части очень легко. Дети быстро запоминают форму кубиков, и им не требуется постоянно пересчитывать количество выступающих элементов на них.

Если ребенок увидит практическое применение дробей и востребованность их в реальной жизни, ему будет проще понять их и осознать важность получения математических знаний и навыков.

Что нужно знать о дробях?

1. Дробь — число нецелое, оно обозначает количество долей целого.

2. Дробь меньше целого.

3. Чем на большее число долей поделено целое, тем эти доли меньше и наоборот — чем долей меньше, тем они, соответственно, больше.

Для обозначения долей в математике используют понятие обыкновенная дробь. С ее помощью можно записать абсолютно любое необходимое количество долей.

Обыкновенная дробь представляет собой две части, именуемые числителем и знаменателем. Записываются они разделенными горизонтальной чертой либо наклонной вправо линией. Знаменатель пишется внизу либо справа от дробной черты, он показывает общее количество частей от целого, на которое оно было поделено. А числитель пишется вверху или слева от дробной черты и показывает, сколько долей целого сейчас взяли.

Вернемся к нашему пирогу. Очевидно, что разделить его реально на сколько угодно равных частей. В зависимости от того, на сколько частей его разделили, меняется и знаменатель дроби. У пирога, разделенного одной прямой линией на две части, знаменатель будет равен 2, у разделенного на три части — 3 и т. д. Числитель же, в свою очередь, показывает, сколько частей сейчас взято. Если взяли только одну часть из двух, то получится дробь 1/2, только две из трех — 2/3 и т. д.

Что такое смешанные дроби?

В математике выделяют дроби правильные и неправильные. Правильные — те, у которых числитель меньше знаменателя. Например: 1/3, 2/5, 4/12. Но бывает и так, что числитель становится больше знаменателя. Если объяснять предметно, то взято больше частей пирога, чем было тех, на которые он поделен. Такое вполне возможно и в жизни, и в математике.

У таких дробей можно отделить целую часть и оставшуюся после этого дробную. То есть будет видно, сколько взято целых пирогов и плюс определенное количество его частей. Нужно хорошо представить себе описанное, или даже проверить на практике, а не просто заучивать формулы. Тогда сокращение дробей будет выполняться ребенком осмысленно и безошибочно.

Для того чтобы трансформировать неправильную дробь в смешанное число, следует сперва числитель поделить на знаменатель. В результате почти всегда получим целое число и какой-то остаток. Целое число и нужно записать, как целую часть. А остаток — отправить в числитель дробной части. Неизменным остается только знаменатель.

Неправильными называют и дроби с одинаковым числом над и под дробной чертой: 6/6, 12/12 и т. д. Очевидно, что превратить их можно в 1. Наглядно это взято столько кусочков пирога, на сколько он и был поделен, т. е. целый пирог.

Примеры:

14/5 = (5*2+4) / 5 = 2 4/5
21/6 = (6*3+ 3) / 6 = 3 3/6

Задание:

Выделите целую часть из неправильных дробей:

15/4,
22/12,
30/7.

Можно провести противоположную процедуру — превратить смешанное число в неправильную дробь. Эта операция часто применяется в математических вычислениях, поэтому будет полезным узнать о ней. Для этого нужно сперва умножить целую часть и знаменатель. Затем получившееся число прибавить к числителю, а знаменатель оставить прежним.

Примеры:

3 1/8 = (3*8+1) / 8 = 25/8
7 4/9 = (7*9+4) / 9 = 67/9

Задание:

1. Преобразовать в смешанное число неправильную дробь:

27/4,
18/5,
45/7.

2. Выполнить обратную первой задачу — смешанное число превратить в неправильную дробь:

3 4/5;
12 7/11.

Десятичные дроби

Дроби, в знаменателях которых есть числа, кратные десяти — 10, 100, 1000 и т. д. — в математике можно обозначать следующим образом. Сначала пишется целая часть, а потом числитель из дробной части, отделенный запятой.

Например, 5 4/10 попробуем записать в виде десятичной дроби. Пишем целую часть (5), ставим запятую и далее пишем числитель дробной части (4). Получаем: 5,4. Читается эта дробь так: «пять целых и четыре десятых». Число, представленное в таком виде, именуется десятичной дробью.

Существуют также десятичные дроби без целой части. Например: 7/100. Как быть в таком случае? Чтобы записать подобную дробь, пишут ноль, ставят запятую и далее записывают числитель дроби — 0,07. Такая дробь читается как «ноль целых, семь сотых».

Десятичные дроби очень удобны, они используются в точных вычислениях. Десятичная система исчисления применяется человечеством с самых древних времен. Она интуитивна понятна и проста.

Задание:

Преобразовать следующие дроби в десятичные:

8/10,
4/100,
7/1000.

Сокращение дробей

Сокращение дробей выполняют для того, чтобы их упростить. Если числитель и знаменатель дроби таковы, что делятся на одно и то же число (имеют общий делитель), то можно просто разделить их на это число, упростив тем самым дробь. Эта математическая операция называется сокращением дробей. Чтобы разобраться с этим, рассмотрим пару таких примеров.

Пример 1. Сократить дробь 8/12

Решение будет следующим. Наибольшее число, на которое делятся и 8, и 12, — это 4. Поэтому, чтобы сократить дробь, просто поделим ее числитель и знаменатель на 4:

8/12 = 8:4 / 12:4 = 2/3

Пример 2. Сократить дробь 10/25

Решение. Наибольшее число, на которое делятся и 10, и 25, — это 5. Потому, чтобы сократить дробь, поделим ее числитель и знаменатель на 5:

10/25 = 10:5 / 25:5 = 2/5

Несократимой называется дробь, у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель — единицу.

Задание:

Сократите следующие дроби:

6/18,
20/40;
7/21.

Сложение дробей

Сначала разберем сложение дробей с одинаковыми знаменателями. В этом случае операция предельно простая. Складываются числители дробей, а знаменатель остается прежним.

Примеры:

1/7 + 2/7 = 3/7
3/8 + 5/8 = 8/8 = 1

Задание:

Выполни сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

Но все усложняется, если нужно сложить дроби с разными знаменателями. В этом случае необходимо привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Чтобы это сделать, необходимо найти наименьшее общее кратное. Это такое число, которое делится на оба эти числа без остатка. Например: 3/7 + 2/6. Наименьшее общее кратное для чисел 7 и 6 будет 42.

Далее ищем дополнительные множители для каждой из дробей. Для этого найденное на предыдущем этапе наименьшее общее кратное делим по очереди на знаменатель каждой из дробей:

42 / 7 = 6 — это будет дополнительный множитель для 3/7;
42 / 6 = 7 — это, соответственно, дополнительный множитель для 2/6.

Обе части каждой из наших дробей, и числитель и знаменатель, умножаем на свой, определенный выше, множитель:

3*6 / 7*6 = 18/42;
2*7 / 6*7 = 14/42.

Складываем полученные дроби аналогичным образом, как уже разобранные выше дроби с одинаковыми знаменателями:

18/42 + 14/42 = 32/42

Если это возможно, то дробь сокращают. Если дробь получилась неправильная, то следует целую часть из нее выделить.

Задание:

Выполни сложение дробей с разными знаменателями:

Вычитание дробей

Эта операция проводится аналогично сложению. Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно найти разность их числителей, а знаменатель оставить тем же.

Пример:

7/9 — 2/9 = (7-2) / 9 = 5/9

Задание:

Выполни вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

Для дробей с разными знаменателями также придется найти наименьшее общее кратное и дополнительные множители. Затем, по аналогии со сложением, произвести вычитание.

Пример:

6/7 — 8/10 = (6*10-8*7) / 70 = (60-56) / 70 = 4/70

Задание:

Выполни вычитание дробей с разными знаменателями:

Умножение дробей

Существует два варианта умножения дробей. Рассмотрим каждый из них в деталях.

Умножение обыкновенных дробей

В этом случае числители обеих дробей перемножаются — это будет новый числитель. Знаменатели обеих дробей также перемножаются — это будет новый знаменатель.

Пример:

2/5 * 3/4 = (2*3) / (5*4) = 6/20 = 3/10

Если это возможно, то следует сократить дроби перед перемножением. Это облегчит дальнейшие действия.

Пример:

24/35 * 25/36 = (24*25) / (35*36) = (2*5) / (7*3) = 10/21

Умножение смешанных дробей

Чтобы это сделать, необходимо превратить дроби в неправильные и далее действовать по алгоритму, приведенному в первом пункте.

Пример:

4 2/7 * 5 3/5 = 30/7 * 28/5 = (30*28) / (7*5) = (6*4) / (1*1) = 24/1 = 24

Задание:

Выполните умножение дробей:

5/7 * 6/8;
6/11 * 2/3;
2 3/7 * 4 5/9;
4 6/7 * 7 9/10.

Деление дробей

Освоив умножение, с делением также можно справиться легко. Правило деления дробей заключается в следующем: при делении одной дроби на другую нужно первую перемножить на обратную (перевернутую) вторую дробь. Или, иными словами, числитель первой умножить на знаменатель второй (это будет новый числитель), а знаменатель первой умножить на числитель второй (это будет новый знаменатель).

Пример:

4/7 : 2/5 = 4/7 * 5/2 = 20/14 = 10/7 = 1 3/7

Бывают ситуации, когда дробь нужно разделить на целое число. В этом случае следует представить дробь как неправильную. Числителем у нее будет это целое число, а знаменателем просто единица. Далее действовать нужно по уже знакомому правилу деления дробей из предыдущего случая.

Пример:

5/9 : 2 = 5/9 : 2/1 = (5*1) / (9*2) = 5/18

Задание:

Выполните деление дробей:

6/11 : 3;
7/15 : 2;
9/12 : 4.

Сравнение дробей

Если сравниваются дроби с одинаковыми знаменателями, то очевидно, что большей будет та, числитель у которой больше.

Пример:

1/5 < 4/5, так как знаменатели одинаковы, а в числителе 1 меньше 5.

Если сравниваются дроби с одинаковыми числителями, то большей будет та, знаменатель у которой меньше.

Пример:

1/2 > 1/8, так как числители одинаковы, а в знаменателе 8 больше 2.

Дроби же с разными знаменателями так просто не сравнишь. Нужно сперва определить их общий знаменатель и привести к нему обе дроби. Правила этой операции были приведены выше. Получим дроби, сравнить которые можно очень легко.

Пример:

Сравниваем дроби 2/5 и 1/10. Для этого приводим их к общему знаменателю — 10. Получаем 4/10 и 1/10. Теперь сравниваем дроби, уже имеющие одинаковые знаменатели: 4/10 > 1/10.

Есть один секрет, который нужно запомнить. Если одна из сравниваемых дробей неправильная, то она всегда больше правильной. Если подумать и вспомнить свойства дробей, то все становится понятно. Ведь неправильная дробь всегда будет больше единицы, тогда как правильная, наоборот, всегда будет меньше.

Задание:

Определите, какие дроби изображены на рисунке, и сравните их:

Итак, мы рассмотрели дроби, правила всех действий с ними. Надеемся, что наши объяснения и рекомендации будут очень полезны. Начинайте знакомить детей с дробями еще до школы. Хорошо усвоив эти понятия, ребенок без труда справится затем и с записью дробей, и с действиями с ними.

Математика и логика для детей 7-13 лет

Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате

узнать подробнее

Читайте также:

Таблица умножения для детей
Как объяснить ребенку состав числа?

Источник

Морфемный разбор слова:

Однокоренные слова к слову:

Доли, обыкновенные дроби: определения, обозначения, примеры, действия с дробями

Доли целого

Доля целого или доля – это каждая из равных частей, составляющих целый предмет.

Половина – одна вторая доля предмета.

Треть – одна третья доля предмета.

Четверть – одна четвертая доля предмета.

Обыкновенные дроби, определение и примеры

Числитель и знаменатель

Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь 7 54 указывает нам на то, что некий предмет состоит из 54 долей, и для рассмотрения мы взяли 7 таких долей.

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Черта дроби как знак деления

При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление 7 яблок на 10 человек запишем как 7 10 : каждому человеку достанется семь десятых долей.

Равные и неравные обыкновенные дроби

Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.

Дробные числа

Дроби на координатном луче

Правильные и неправильные дроби, определения, примеры

Источник

Обыкновенные дроби

теория по математике ? числа и вычисления

Обыкновенная дробь – это запись числа в виде:

где число a называют числителем, а число b – знаменателем дроби.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Пример №1. У первой дроби можно разделить числитель и знаменатель на одно и то же число 14, и получится равная ей дробь. Или как у второй дроби можно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, допустим, на 5.

Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Пример №2. Чтобы сократить данную дробь надо вспомнить признаки делимости и увидеть, что числитель и знаменатель дроби — четные числа, значит, их можно разделить на 2, то есть дробь сокращается на 2:

Пример №3. По признаку делимости числитель и знаменатель делятся на 5, значит, сокращается данная дробь на 5.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении (вычитании) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями нужно знаменатель оставить тем же, а числители сложить (вычесть). Если дроби смешанные, то отдельно складывают (вычитают) целые части.

Решения можно записывать короче, выполняя устно сложение или вычитание целых частей, а также – числителей.

Вычитание обыкновенной дроби из целого числа

Чтобы вычесть дробь из единицы, нужно единицу представить в виде неправильной дроби, числитель и знаменатель которой равны знаменателю вычитаемой дроби.

Пример №5. Представляем единицу в виде дроби и получаем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (числители можно вычесть устно).

Вычитание обыкновенной дроби из бóльшего числа

Чтобы вычесть обыкновенную дробь из числа, большего 1, необходимо представить эту дробь в виде смешанного числа, числитель и знаменатель которой равны также знаменателю вычитаемой дроби.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями требует предварительного приведения дробей к общему знаменателю. Существуют несколько приемов, которыми можно воспользоваться для нахождения общего знаменателя.

Нахождение общего знаменателя

Наименьшее общее кратное (НОК) – это наименьшее число, которое делится без остатка на данные знаменатели одновременно. Обычно его находят устно при выполнении действий с дробями.

Правило нахождения НОК рассмотрим на примере чисел 12 и 15. Пример №7. 1. Нужно разложить на простые множители каждое число:

2. Затем найти одинаковые множители (подчеркиваем):

В данном случае это только множитель 3.

3. Взять одно из данных чисел и домножить на оставшиеся (не подчеркнутые) множители другого числа:

12 домножаем на 5: 12×5=60, или

15 домножаем на 2 и 2: 15×2×2=60

Таким образом, НОК =60. Обычно достаточно просто внимательно посмотреть на числа и в уме подобрать для них НОК.

Перемножение знаменателей. Приём №2.

Нам необходимо просто перемножить знаменатели. Обычно этот прием используется тогда, когда даны простые числа (которые делятся на 1 и на само себя) и на множители их не разложить.

Пример №8.

Для нахождения общего знаменателя в первом случае: 17×19=323, во втором: перемножаем 11 и 13, получаем 143.

Последовательный подбор. Приём №3.

Данный способ можно применить для небольших чисел устно: возьмем больший из знаменателей, умножим его на 2 и проверим, делится ли это число на второй знаменатель. Если нет, то умножим последовательно на 3, 4 и проверим аналогично.

Пример №9. Возьмем число 51, умножим на 2, получим 102 — видим, что 102 делится на 34, поэтому 102 и будет общий знаменатель.

После того, как мы научились находить общий знаменатель, приступаем непосредственно к алгоритму сложения (или вычитания) обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Находим общий знаменатель. Можно использовать прием, когда умножаем 11 и 14, так как 11 — простое число. Следовательно, общий знаменатель равен 154. Находим дополнительный множитель к каждому числителю:

Выполняем умножение в числителе: Выполняем сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

Умножение обыкновенных дробей

При умножении обыкновенных дробей получают дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.

При умножении обыкновенной дроби и целого числа необходимо целое число представить в виде дроби, числитель которой равен этому числу, а знаменатель равен 1 (что по сути означает перемножение числителя единственной первой дроби и целого числа, знаменатель же остается от первой дроби, так не меняется при умножении на единицу).

Если даны смешанные дроби, то необходимо сначала смешанную дробь перевести в неправильную, а затем выполнить умножение.

Пример №11. Здесь числитель 3 умножили на числитель 7, знаменатель 5 на знаменатель 10.

Пример №12. Случай, когда мы находим произведение дроби и целого числа. Целое число представили в виде дроби со знаменателем 1.

Пример №13. Нам даны смешанные дроби, переводим их в неправильные для выполнения умножения.

Деление обыкновенных дробей

При делении обыкновенных дробей необходимо делимое (то есть первую дробь) умножить на перевернутую вторую дробь, то есть дробь, обратную второй.

Если даны смешанные числа, то перед выполнением деления их необходимо перевести в обыкновенные неправильные дроби.

Если дробь нужно разделить на целое число, то его сначала нужно представить в виде дроби, а затем выполнить деление по правилу.

Пример №14. Делимое умножаем на число, обратное делителю. Пример №15. Смешанные дроби сначала переводим в неправильные, а затем выполняем деление.

Пример №16. Деление дроби на целое число, где целое число 7 представлено в виде обыкновенной дроби.

Найдите значение выражения:

Упрощение заданного выражения нужно начать с преобразований в скобках. Здесь следует привести дроби к общему знаменателю:

теперь переходим от деления дробей к их умножению:

затем 1) сокращаем дроби на 5ab; 2) в числителе первой дроби раскладываем выражение, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов:

сокращаем выражение на (a–5b): Представим числовые значения для a и b в виде неправильных дробей (для удобства вычислений): Подставим полученные значения в выражение и найдем конечный результат: Ответ: 39

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения при x = 12:

Выполним тождественные преобразования выражения, чтобы упростить его. 1-й шаг – переход от деления дробей к их умножению:

далее в знаменателе второй дроби сворачиваем выражение по формуле сокращенного умножения (используем ф-лу для квадрата суммы):

теперь сокращаем выражение (в числителе первой дроби и в знаменателе второй) и приходим к окончательно упрощенному виду:

Подставляем числовое значение для х в полученное выражение и находим результат:

Ответ: 0,6

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения

В первую очередь в заданиях такого типа необходимо упростить выражение, а затем подставить числа. Приведем выражение к общему знаменателю — это b, для этого умножим первое слагаемое на b, после этого получим в числителе:

Приведем подобные слагаемые — это 9b² и — 9b², в числителе остается 5a. Запишем конечную дробь:

Вычислим её значение, подставив числа из условия:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения:

Итак, в данном задании при вычитании дробей нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это 15 x y, для этого необходимо первую дробь домножить на 5 y — и числитель и знаменатель, естественно:

Далее, после того как дроби приведены к общему знаменателю, можно производить вычисления. Вычислим числитель:

5 y — (3 x + 5 y) = 5 y — 3 x — 5 y = — 3 x

Тогда дробь примет вид:

Выполнив простые сокращения числителя и знаменателя на 3 и на x, получим: — 1/5 y

Подставим значение y = 0,5: — 1 / (5 • 0,5) = — 1 / 2,5 = — 0,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения:

В данном случае, в отличие от первого, мы будем упрощать выражение вынося за скобки, а не раскрывая их.

Сразу можно заметить, что b присутствует у первой дроби в числителе, а у второй — в знаменателе, поэтому можем их сократить. Семь и четырнадцать тоже сокращаются на семь:

Далее выносим из числителя второй дроби a:

Подставляем значение a = 13:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Какое из данных ниже чисел является значением выражения?

Заметим, что в знаменателе присутствует разность (4 — √14), от которой нам необходимо избавиться. Как же это сделать?

Для этого вспоминаем формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов! Чтобы правильно её применить в этом задании необходимо помнить правила обращения с дробями. В данном случае вспоминаем, что дробь не изменяется, если числитель и знаменатель домножить на одно и то же число или выражение. Для разности квадратов нам не хватает выражения (4 + √14), значит, домножим на него числитель и знаменатель.

После этого в числителе получим 4 + √14, а в знаменателе разность квадратов: 4² — (√14)². После этого знаменатель легко вычисляется:

Суммарно наши действия выглядят так:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Аналогично предыдущим заданиям вычисляем знаменатель: для этого приводим дроби к общему знаменателю — это 84. Для этого первую дробь умножаем на 4, а вторую на 3, получим:

1/21 + 1/28 = 4/84 + 3/84

Итак, мы получили в знаменателе 7/84, теперь делим числитель на знаменатель — это все равно что умножить 1 на обратную 7/84 дробь:

1 / ( 7 / 84 ) = 1 •84/7 = 84/7

Далее остается поделить 84 на 7:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Можно решать задачу напрямую — вычисляя значения последовательно, это не должно составить труда, однако решение будет долгим и с большими вычислениями. Здесь можно заметить, что 1/3 присутствует как в уменьшаемом — 6 • (1/3)², так и в вычитаемом — 17 • 1/3, поэтому её можно легко вынести за скобку.

Проведя вычисления в скобках, получим:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Обыкновенные дроби

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доля целого

Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.

Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.

У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.

Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.

Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:

Понятие дроби

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:

Виды дробей:

Какие еще бывают дроби:

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 35.

Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Как устроена обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.

Черта между числителем и знаменателем — символ деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.

Как устроена десятичная дробь

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства дробей

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:

где a, b, k — натуральные числа.

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!

Действия с дробями

С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.

Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.

Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

В этом примере делим обе части дроби на двойку.

Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).

Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

Полученные числа запишем справа сверху над числителем.

Ход решения одной строкой:

Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.

Чтобы умножить два смешанных числа, надо:

Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.

Для деления смешанных чисел необходимо:

Источник

Теперь вы знаете какие однокоренные слова подходят к слову Как пишется обыкновенная дробь, а так же какой у него корень, приставка, суффикс и окончание. Вы можете дополнить список однокоренных слов к слову «Как пишется обыкновенная дробь», предложив свой вариант в комментариях ниже, а также выразить свое несогласие проведенным с морфемным разбором.

Источник

Vocabulary

Forms of fractions

Simple, common, or vulgar fractions

Proper and improper fractions

Reciprocals and the «invisible denominator»

Ratios

Decimal fractions and percentages

Mixed numbers

Historical notions

Egyptian fraction

Complex and compound fractions

Arithmetic with fractions

Equivalent fractions

Simplifying (reducing) fractions

Comparing fractions

Addition

Adding unlike quantities

Subtraction

Multiplication

Multiplying a fraction by another fraction

Multiplying a fraction by a whole number

Multiplying mixed numbers

Division

Converting between decimals and fractions

Converting repeating decimals to fractions

Fractions in abstract mathematics

Algebraic fractions

Radical expressions

Typographical variations

History

In formal education

Pedagogical tools

Documents for teachers

See also

Notes

References

External links

Vocabulary

Forms of fractions

Simple, common, or vulgar fractions

Proper and improper fractions

Reciprocals and the «invisible denominator»

Ratios

Decimal fractions and percentages

Mixed numbers

Historical notions

Egyptian fraction

Complex and compound fractions

Arithmetic with fractions

Equivalent fractions

Simplifying (reducing) fractions

Comparing fractions

Addition

Adding unlike quantities

Subtraction

Multiplication

Multiplying a fraction by another fraction

Multiplying a fraction by a whole number

Multiplying mixed numbers

Division

Converting between decimals and fractions

Converting repeating decimals to fractions

Fractions in abstract mathematics

Algebraic fractions

Radical expressions

Typographical variations

History

In formal education

Pedagogical tools

Documents for teachers

See also

Notes

References

External links

Доли целого

Обыкновенные дроби, определение и примеры

Числитель и знаменатель

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Черта дроби как знак деления

Равные и неравные обыкновенные дроби