Геометрия как пишется знак принадлежит - Наука и образование на Pishetsya.top

∈ Принадлежит

Нажмите, чтобы скопировать и вставить символ

Значение символа

Принадлежит. Математические операторы.

Символ «Принадлежит» был утвержден как часть Юникода версии 1.1 в 1993 г.

Свойства

Версия	1.1
Блок	Математические операторы
Тип парной зеркальной скобки (bidi)	Нет
bmg	220B
Композиционное исключение	Нет
Изменение регистра	2208
Простое изменение регистра	2208

Кодировка

Кодировка	hex	dec (bytes)	dec	binary
UTF-8	E2 88 88	226 136 136	14846088	11100010 10001000 10001000
UTF-16BE	22 08	34 8	8712	00100010 00001000
UTF-16LE	08 22	8 34	2082	00001000 00100010
UTF-32BE	00 00 22 08	0 0 34 8	8712	00000000 00000000 00100010 00001000
UTF-32LE	08 22 00 00	8 34 0 0	136445952	00001000 00100010 00000000 00000000

Источник

Таблица математических символов. Сокращённая запись математического текста, математические обозначения. Математический алфавит. Математическая скоропись. Негламурный эксклюзив от Проекта DPVA.info

Сортировка знак / легенда
Сортировка легенда / знак

Знак (символ, сокращение)

Пояснения (расшифровка, легенда)

следовательно,
таким образом,
поэтому

т.о.

следовательно,
таким образом,
поэтому

потому что
из-за того что
вследствие того, что
поскольку
в результате того, что

ЧТД

QED

Конец доказательства = «Что и требовалось доказать» = quod erat demonstrandum

Что и требовалось доказать = окончание доказательства

Равенство

приблизительно равно (везде)

изоморфно (теория групп)

По определению равно

По определению равно
Равенство по модулю

Записывается ab (mod n), читается a равно b по модулю n.

По определению логически эквивалентно

эквивалентность матриц (т.е. одна сводится к другой с помощью элементарных операций над строками)

Случайная величина имеет распределение вероятности …

числа одного порядка

эквивалентность функций при определенной базе, т.е. одинаковое ассимптотическое поведение

отношение эквивалентности , используется, когда 2 элемента принадлежат одному и тому же классу эквивалентности

Конгруэнтность в геометрии

Изморфизм

Неравенство

Меньше

Больше

Много меньше

Много больше

Меньше или равно

Больше или равно

Сведение по Карпу (Karp reduction) — теория сложности, левое сводимо по Карпу к правому, левое «не сложнее правого», естественно возможно и использование знака острием вправо (но нам лень было рисовать)

пропорциональность — основной символ

!иногда! сведение по Карпу (Karp reduction) — теория сложности, левое сводимо по Карпу к правому, левое «не сложнее правого», естественно возможно и использование знака острием вправо (но нам лень было рисовать)

Плюс

Несвязное объединение = несвязная сумма = дизъюнктное объединение — теория множеств

Минус

Противоположный

Отрицательный

!иногда!Разность множеств — теория множеств

Умножить

Векторное произведение векторов

Прямое (декартово) произведение множеств

Группа единиц или группа обратимых элементов — теория колец: группа R^x — это обратимые элементы кольца R с той же опрецией умножения, что и на R. Так же обозначается как R* или U(R).

Умножить

Скалярное произведение векторов в пространстве

Производная по времени (записывается над аргументом)

Разделить

Разделить

Факторгруппа

Если G -группа, а H- ее нормальная подгруппа, то G/H — факторгруппа G по H, т.е. группа классов смежности H в G

Фактормножество

Если X — множество с заданным на нем отношением эквивалентности , то X/ — фактормножество, т.е. множество классов эквивалентности относительно

Плюс-минус

с точностью

Минус плюс — имеет смысл только при употреблении вместе со знаком плюс минус cos(x ± y) = cos(x) cos(y)

sin(x) sin(y).

Корень квадратный действительный

Корень квадратный мнимый

Модуль

Длина вектора (Евклидова норма)

Определитель матрицы

мощность множества (если оно бесконечно), количество элементов множества (порядок) (если оно конечно)

Норма в нормированном векторном пространстве

длина

функция нахождения ближайшего целого числа (округления) (Другие варианты обозначения: [x], nint(x) или Round(x))

делитель, делит нацело

не является делителем, не делит нацело

условная вероятность — в теории вероятностей

P(A|B) — вероятность события А, при условии, что событие B уже произошло

ограничение функции на множестве, т.е. сужение области определения функции.

Если функция f определена на R, то f|_N определена только на N и принимает на N те же значения, что и f

таких что……., так что…………..

A={x | |x|<1} читается: «А — множество x таких, что модуль x меньше 1» и значит, что множество А — множество элементов числовой прямой, лежащих между -1 и 1.

параллельность

a||b — параллельные прямые a и b

несравнимость (несравнимо) — в теории порядка

Если X — множество с отношением частичного порядка ≤, а a и b — его элементы, то a||b — a и b несравнимы, если про них невозможно сказать ни a≤b, ни b≤a

точный делитель (при разложении числа в произведение степеней простых чисел — простое число в максимальной степени, делящее исходное)

мощность или кардинальное число в теории множеств

связная сумма в топологии

Примориал или праймориал

n# — произведение простых чисел, не превышающих n

Алеф — кардинальное число, характеризующее мощность бесконечного вполне упорядоченного множества

Бет — кардинальное число, характеризующее мощность бесконечного множества

мощность континуума — теория множеств

так что, такой что- везде

aR bR : a<b читается » для любого рационального числа a существует рациональное число b такое что a меньше b»

расширение поля — теория поля

E:K значит, что E — это расширение поля K

скалярное произведение матриц в некотором предгильбертовом пространстве, элементами которого являются матрицы.

факториал

n!=1*2*3…..*(n-1)*n читается n-факториал

логическое отрицание

!A=1, если А=0, !А=0, если А=1, читается не А.

сплетение групп в теории групп (Также обозначается как А_wrВ)

инвариантная (нормальная) подгруппа

Идеал кольца( теория колец )

Антисоединение отношений (Antijoin) — операция реляционной алгебры, которая оставляет только те кортежи первого отношения, для которых не найдется кортежей второго отношения, совпадающих с ними по общему атрибуту.

или

Полупрямое произведение групп

Полусоединение отношений (Semijoin)- операция реляционной алгебры, оставляющая только те кортежи первого отношения, для которых найдутся кортежи второго отношения, совпадающие с ними по общему атрибуту.

Естественное соединение отношений (Natural Join)- операция реляционной алгебры, результатом которой является набор всех возможных комбинаций кортежей исходных отношений, то есть комбинаций тех кортежей, у которых совпадают общие атрибуты

импликация (материальная) логика
следовательно (в доказательствах)

импликация (материальная) логика

импликация (материальная) логика

надмножество строгое (теория множеств) само понятие надмножества в русской традиции не вводится.

Материальная эквивалентность, равносильность= «тогда и только тогда»

Логическое отрицание = не

Логическая конъюнкция

Пересечение в теории графов

V произведение — внешнее произведение — линейная алгебра

Знак возведения в степень в строчной записи

Логическая дизъюнкция

Или, ( в смысле «ИЛИ»)

Смыкание, сшивание в теории графов

исключающее ИЛИ , симметрическая разность (логика, Булева алгебра, теория множеств)

прямая сумма (абстрактая алгебра)

исключающее ИЛИ (только в логике)

обозначение понятия — любой, читается как — «для любого», «для всех», «для каждого»

обозначение понятия — существует, читается как «найдется», «существует», «существуют»…

обозначение понятия — существует единственный, читается как «найдется ровно один «, «существует один и только один «, «существует единственный «…

внутри скобок записываются элементы множества

значок множества со значком определяющего признака элементов множеств. Читается, как элементы «икс», такие что «для всех икс верно….».

значок пустого множества

значок принадлежности к множеству — читается «принадлежит…»

значок не принадлежности к множеству — читается «не принадлежит…»

Знак подмножества. А B означает — все элементы A являются элементами B. Часто путают со знаком ниже.

Знак собственного (строгого = истинного ) подмножества. А B означает — все элементы A являются элементами B, но A не равно B. Часто путают со знаком выше.

Знак надмножества. А B означает — все элементы B являются элементами A. В РФ очень часто вообще не используется (пользуются значком подмножества и переставляют буквы)

Знак строгого = истинного надмножества. А B означает — все элементы B являются элементами A, но B не равно A. В РФ очень часто вообще не используется (пользуются значком подмножества и переставляют буквы), кроме того этот знак путают со знаком выше.

В теории множеств-объединение множеств. С= А

B означает, что элементы С — это элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А и В.

В теории множеств — пересечение множеств. С= А

B означает, что элементы множества С — это элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В.

В теории множеств — симметрическая разность множеств. С= А

B значит, что элементами множества С являются элементы, принадлежащие только множеству А или только множеству В.

В теории множеств — разность множеств (или относительное дополнение одного множества до другого).

С= А B читается С — разность множеств А и В (или С — относительное дополнение множества В до множества А) и значит, что элементами С являются все элементы А, которые не принадлежат В.

Стрелка, обозначающая откуда и куда действует отображение (функция) f. Запись f : X Y означает, что отображение f переводит элементы множества X в элементы множества Y. Или, можно сказать, что X — область определения f, а область значений f — есть некоторое подмножество множества Y.
«Стремится» — в теории пределов

Стрелка, определяющая отображение (функцию) f. Запись f: a b означает, что отображение(функция) f переводит элемент а в элемент b.

Наример, f: x x² означает, что f(x)=x²

Композиция функций. Запись z=g

Композиция функций. Запись z=gf означает, что z(x)=g(f(x)).

Произведение Адамара двух матриц одинакового размера

— матрица того же размера, элементы которой равны произведению соответствующих элементов перемножаемых матриц

Множество натуральных чисел. В зависимости от контекста и области применения этого обозначения за

Множество натуральных чисел, математический символ

обозначают либо множество {1, 2, 3, 4, …}, либо множество {0, 1, 2, 3, 4…}.

Множество целых чисел.

={…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

Также можно написать ={p, -p| p∈} U {0}.

⁺

Множество положительных целых чисел. Т.е. множество {1, 2, 3, …}

^≥

Множество неотрицательных целых чисел. Т.е. множество {0, 1, 2, …}

Z/(n)Z

Z/(n)

Кольцо вычетов по модулю n.

={0, 1, 2,…, n-1} с операциями сложения и умножения по модулю n.

Стоит понимать, что вместо n может стоять любая буква, а в частном случае цифра.

Множество p-адических чисел вида , где m≥0; a_k — целые числа, а p — простое число.

Стоит понимать, что вместо p может стоять любая буква, а в частном случае цифра.

Проективное пространство. В частности,

Проективное пространство, математичекий символ

ⁿ n-мерное проективное пространство.

P(X)

Pr(X)

P[X]

Pr[X]

В теории вероятности — вероятность.

(X) — вероятность того, что произойдет событие X.

Множество рациональных чисел.

={m/n | m∈, n∈}

Множество действительных чисел

Множество комплексных чисел.

={a+bi | a,b∈ }, где i — мнимая единица.

Множество кватернионов (кватернионов Гамильтона).

={a+b i +c j +d k | a,b,c,d∈ }, где { i, j, k } — стандартный базис трехмерного пространства.

Другими словами, a — это рациональное число, а b i +c j +d k — это вектор трехмерного пространства с координатами {b, c, d}.

O-большое в исследовании ассимптотического поведения функций. Описывает ассимптотическое поведение функции, когда ее аргумент стремится к числу или к бесконечности.

Запись f(x)=O(g(x)) при xa означает, что lim f(x)/g(x)=K при xa. Где К — константа.

Бесконечность. Элемент расширенной числовой прямой, который больше любого числа. Чаще всего употребляется, когда речь идет о пределах.

Огругление числа до целого в меньшую сторону.

x — это наибольшее целое число, меньшее или равное х.

Например, 3.4=3, -2, 3= -3.

Огругление числа до целого в большую сторону.

x-это наименьшее целое число, большее или равное х.

Например, 3.4=4, -2.3=-2.

Огругление числа до ближайшего целого к нему.

Например, 3.4=3, -4.6=-5, 3.5=4.

В теории полей — степень расширения поля. [E:K] — это степень расширения поля E:K, где E — это расширение поля K.

[E:K] — это по определению размерность векторного пространства E над K.

Например, [ : ]=2.

Индекс подгруппы

Если H — подгруппа группы G, то [G:H] — индекс подгруппы H, т.е. число смежных классов по подгруппе H (или мощность множества смежных классов)

Класс эквивалентности. [a] — это множество элементов, эквивалентных a. Более точная запись — [a]_R означает класс эквивалентности, порожденный элементом a относительно отношения эквивалентности R.
Огругление числа до целого в меньшую сторону.
[x] — это наибольшее целое число, меньшее или равное х.
Огругление числа до ближайшего целого к нему.

Нотация Айверсона, или скобка Айверсона. Сопоставляет некоторому утверждению 1 или 0, в зависимости от того, истинно или ложно данное утверждение. Т.о., если S — некоторое утверждение, то [S]=0, если S — ложно, и [S]=1, если S — истинно.

Например, [2=3]=0; [4<5]=1.

Если f — функция, а X — некоторое подмножество ее области определения, то f[X] — образ множества X.

Иными словами, f[X]={f(x) | x∈X}

Отрезок. [a,b]={x∈ | a≤x≤b}
В алгебре — коммутатор.

[g, h] = g^-1h^-1gh, если g, h∈G, где G — группа.

[a,b]=ab-ba, если a, b∈R, где R — кольцо.

[A, B]=AB-BA, если A и B — операторы.

Векторное произведение векторов.

Смешанное произведение векторов.

Образ элемента

f(x) — образ x при применении f.

Если f — функция, а X — некоторое подмножество ее области определения, то f(X) — образ множества X.

Иными словами, f(X)={f(x) | x∈X}

Количество сочетаний.

— число советаний из r элементов, выбранных из n элементов

Скобки, указывающие порядок выполнения операций. Операция в скобках выполняется в первую очередь.

(( ))

Количество мультимножеств

-число различных мультимножеств мощности k, состоящих из элементов, выбранных из множества мощности n

Наибольший общий делитель.

(a, b)=НОД(a, b) — наибольший общий делитель чисел a и b.

Кортеж — упорядоченный набор (список) некоторых величин, или горизонтальный вектор.

Интервал

(a,b)={x∈ | a<x<b}

Скалярное произведение векторов

Интервал

(a,b)={x∈ | a<x<b}

Полуинтервал (открытый слева)

(a,b)={x∈ | a<x≤b}

Полуинтервал (открытый слева)

(a,b)={x∈ | a<x≤b}

Полуинтервал (открытый справа)

(a,b)={x∈ | a≤x<b}

Полуинтервал (открытый справа)

(a,b)={x∈ | a≤x<b}

Среднее значение, усреднение

<S> — среднее значение элементов множества S.

В линейной алгебре — линейная оболочка подмножества линейного пространства — пересечение всех подпространств, содержащих данное подмножество.

Если S — подмножество линейного пространства L, <S> — линейная оболочка множества S, т.е. прересечение всех подпространств линейного пространства L, содержащих в себе множество S.

В теории групп — группа, порожденная некоторым подмножеством элементов группы- минимальная подгруппа данной группы, содержащая в себе данное подмножество.

Если S — некоторое подмножество элементов группы G, то <S> — подгруппа G, порожденная S, т.е. минимальная подгруппа G, содержащая S.

Скалярное произведение векторов в предгильбертовом пространстве. (Следует понимать, что скалярное произведение может быть определено множеством способов)
В линейной алгебре — линейная оболочка элементов линейного пространства- пересечение всех подпространств данного линейного пространства, содержащих данные элементы.

Если a₁, a₂…,a_n — векторы линейного пространства L, то <a₁, a₂…,a_n> — линейная оболочка векоторов a₁, a₂…,a_n т.е. пересечение всех подпространств пространства L, содержащих в себе векторы a₁, a₂…,a_n.

В теории групп — группа, порожденная данными элементами группы — минимальная подгруппа данной группы, содержащая в себе эти элементы.

Если a₁, a₂…,a_n— некоторые элементы группы G, то <a₁, a₂…,a_n> — подгруппа G, порожденная элементами a₁, a₂…,a_n, т.е. минимальная подгруппа G, содержащая в себе элементы a₁, a₂…,a_n.

Кортеж — упорядоченный набор (список) некоторых величин, или горизонтальный вектор.

Скалярное произведение векторов в предгильбертовом пространстве. (Следует понимать, что скалярное произведение может быть определено множеством способов)

В обозначениях Дирака — кет-вектор. |φ> — вектор φ некоторого гильбертого пространства

В обозначениях Дирака — бра-вектор из пространства, сопряженного некоторому гильбертовому пространству. <φ| — бра вектор, соответствующий кет-вектору |φ> (говорят, даже, совпадающий с кет-фектором |φ>), задающий линейный функционал, ставящий в соответствие каждому кет-вектору |ψ> скалярное произведение <φ|ψ>.

число советаний из r элементов, выбранных из n элементов

Сумма, ряд.

=a₁+…+a_n

Произведение

=a₁…a_n

В теории множеств — прямое (декартово) произведение множеств

— множество n-местных кортежей (наборов), в которых на i-м месте стоит элемент из Y_i.

В теории категорий — копроизведение (категорная сумма)

Производная. f'(x) — значение производной функции f в точке x (Тангенс угла наклона касательно к функции f в точке x).

Неопределенный интеграл (первообразная)

A(x)=

f(x)dx значит, что A'(x)=f(x).

Определенный интеграл.

Определенный интеграл, математический символ

f(x)dx

—

площадь (с учетом знака) фигуры, образованной графиком функции f(x)dx, прямой Ox и прямыми x=a и x=b.

Криволинейный интеграл по незамкнутой кривой (первого или второго рода).

Криволинейный интеграл первого рода, математический символ

f(x,y,z)dl

—

криволинейный интеграл первого рода функции f по кривой l.

Криволинейный интеграл второго рода, математический символ

f(x,y,z)dx

—

криволинейный интеграл второго рода функции f по кривой l.

f(x,y,z)dy

—

криволинейный интеграл второго рода функции f по кривой l.

f(x,y,z)dz

—

криволинейный интеграл второго рода функции f по кривой l.

Интеграл по контуру (поверхности — знак интеграла удваивается, объему-знак интеграла утраивается).

Градиент

f(x₁,…,x_n)- вектор частных производных (f ‘_x1,..,f ‘_xn)

Дивергенция

Если вектор =v_x i +v_y j +v_z k , где v_x, v_y, v_z — функции от трех переменных x, y, z, а i, j, k — стандартный базис в пространстве, то

Ротор

Если вектор =v_x i +v_y j +v_z k ,

где v_x, v_y, v_z — функции от трех переменных x, y, z,

а i, j, k — стандартный базис в пространстве, то

Частная производная

Частная производная, математический символ

—

частная производная функции f по переменной x_k, где f = f(x₁,..,x_k,..,x_n)

В топологии — граница множества

Если M — некоторое множество, то — граница множества M (другими словами, множество всех граничных точек множества M)

Степень многочлена

Если f — многочлен, то — степень многочлена f. Чаще встречается обозначение deg f.

Приращение , дельта

x — приращение (изменение) x

Лапласиан

Оператор Лапласа ставит функции от n переменных в соответствие ее дифференциал второго порядка.

Определитель матрицы

(А), где А — матрица

Дельта-функция

Символ Кронекера, индикатор равенства переменных

В реляционной алгебре — проекция

Операция, которая из заданного отношения (таблицы) выбирает подмножество, которое получается выбором нескольких из имеющихся атрибутов и (если потребуется) вычеркиванием повторяющихся кортежей. Результатом перации _a,b,..,k(R) является таблица (отношение), полученная из таблицы R вычеркиванием атрибутов, не равных a,b,…k, и затем вычеркиванием одинаковых строчек (кортежей), если такие появились.

Например:

Если в изначальной таблице ЛЮДИ атрибутами являются рост, вес, пол, то результатом операции
_рост(ЛЮДИ)
будет таблица ЛЮДИ с одним атрибутом — рост, и если в ней окажутся одигнаковые строки, они будут вычеркнуты.

Число Пи

Математическая константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру. 3,14159265.

В реляционной алгебре — выборка

Операция _aθb(v)(R), где a и b — атрибуты (или a-атрибут, а v -константа), а θ — бинарная операция из множества {<, ≤, =, ≥, >} выбирает из отношения R те кортежи, для атрибутов которых выполнено соотношение aθb (aθv).

В теории порядка — покрытие (понятие, определяющее смежность вершин диаграммы Хассе некоторого частично-упорядоченного множества). Если X — множество с отношением частичного порядка ≤ , а отношение < на этом множестве задается следующим образом : a<b, если a≤b и а ≠ b, то элемент y покрывает элемент x и пишется xy, если
а) x<y
б) не существует такого элемента z, что

x<z<y.

Если ab, то вершины a и b диаграммы Хассе данного множества смежные.

В теории типов — подтип (подкласс, дочерний тип(класс)). Часто используется в объектно-ориентированном программировании.
S

Подтип, подкласс, дочерний класс, математичекий символ

T значит, что S — подтип T, т.е. все элементы S являются элементами типа Т, и их объединяет какое-то общее свойство.
Например, Круги

Фигуры.
S

T значит, что любой элемент типа S можно использовать в том месте, где ожидается использование элемента типа T, и при этом не возникнет ошибки.

Эрмитово-сопряженная (комплексно-сопряженная) матрица.

A^† — матрица, полученная из матрицы A транспонированием и заменой каждого элемента матрицы A комплексно-сопряженным ему.

Чаще всего такая матрица обозначается A*, а также встречаются обозначения A*^T, A^T*, , .

Транспонирование матрицы.

A^T — матрица, в которой в качестве строк записаны столбцы матрицы А.
Другими словами, если А=(a_ij), то A^T=(a_ji)

Наибольший элемент решетки — в теории порядка

— наибольший (верхний )элемент решетки.

Высший (универсальный) тип в теории типов.

— тип, который содержит в себе каждый возможный объект в данной системе типов.

Перпендикуляр — в геометрии

x⊥y значит, что векторы (прямые) x и y перпендикулярны, или, в более общем случае, ортогональны.

Ортогональное дополнение подпространства — в линейной алгебре

Если W — подпространство предгильбертового пространства V, то W^⊥ — ортогональное дополнение подпространства W, т.е. множество векторов пространства V, перпендикулярных каждому из векторов подпространства W.

Взаимно простые числа — в теории чисел

a⊥b значит, что наибольший общий делитель чисел a и b равен единице. Часто записывается как (a, b)=1

Независимость случайных событий — в теории вероятностей

A⊥B значит, что случайные события A и B независимы, т.е. наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

Наименьший (нижний) элемент решетки — в теории порядка

⊥ — наименьший (нижний) элемент решетки

Нижайший тип (универсальный подтип) — в теории типов

⊥ — тип, у которого нет подтипов

Сравнимость — в теории порядка

x⊥y значит, что элементы x и y частично упорядоченного множества сравнимы, т.е. про них известно, что x≤y или y≤x

Импликация (логическое следование) — в теории моделей

A B значит, что из А следует B, или A влечет B. В любой модели, где A B, если А верно, то и B верно.

Вывод — в логике высказываний (предикатов).

A B значит, что B выводится из A.

Тензорное произведение (модулей) — в линейной алгебре.

Если A и B — линейные пространства, то
A
B — их тензорное произведение, тоже линейное пространство

Если а

A и bB, то

ab — их тензорное произведение, и

Если A и B — модули над коммутативным кольцом R, то A
_R B — их тензорное произведение, тоже модуль над кольцом R

Умножение

ab — произведение a и b

Свертка функций — в функциональном анализе

(f*g)(x) =

f(y)g(x-y)dy,

где f, g — функции, определенные и интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве R^d

Сопряжение комплексных чисел

z* — число, комплексно-сопряженное к z.

Если z=a+bi, то z*=a-bi

Группа единиц (обратимых элементов) кольца

R* — группа обратимых элементов кольца R

Гипердействительные числа

R* — расширение множества R действительных чисел, в котором каждый элемент представляется в виде суммы действительного числа и бесконечно малой добавки, бесконечно малые величины в котором являются величинами постоянными. В R* входят также бесконечно большие числа.

Вместо R можно использовать также другие множества, например, N*.

Звезда Ходжа

Линейный оператор из пространства p-векторов в пространства (n-p)-форм.

Если вектор v — поливектор степени p, то *v — дифференциальная форма степени n-p.

Среднее значение — в статистике

— среднее значение величин x_i

Сопряжение комплексных чисел

— число, комплексно-сопряженное к x.
Если x=a+bi, то =a-bi

Алгебраическое замыкание — в алгебре

— алгебраическое замыкание поля T, т.е. алгебраически замкнутое расширение поля T. Поле называется алгебраически замкнутым, если каждый многочлен ненулевой степени над этим полем имеет хотя бы 1 корень.

Топологическое замыкание — в геометрии (топологии)

Если S — некоторое подмножество топологического пространства, то — топологическое замыкание подмножества S, т.е. пересечение всех замкнутых надмножеств подмножества S.

Сортировка знак / легенда
Сортировка легенда / знак

Легенда (пояснение, расшифровка)

Символ (знак, сокращение)

Следовательно, таким образом, поэтому

2. т.о.

3. (следовательно)

Потому что, из-за того что, вследствие того что, поскольку, в результате того, что

Конец доказательства, что и требовалось доказать

1. ЧТД, QED (Что и требовалось доказать, quod erat demonstrandum)

Таких что, так что, такие что

2. :

aR bR : a<b читается » для любого рационального числа a существует рациональное число b такое что a меньше b»

Материальная эквивалентность, равносильность, тогда и только тогда

Любой, для любого

Существует, найдется

Существует единственный

Или

Бесконечность

Приращение, изменение

Приращение, лапласиан, оператор лапласа, математичекий символ

Стремится

Действие отображения, функции, стрелка, математический символ

Равно

По определению равно

По определению эквивалентно

Равно по модулю

Записывается ab (mod n), читается a равно b по модулю n.

Не равно

Приблизительно равно

Сложение, ряд

2. (ряд)

=a₁+…+a_n

Вычитание

Умножение, произведение

3. *

=a₁…a_n

Деление, разделить

1. :

Квадратный корень (действительный, мнимый)

Возведение в степень

— в строчной записи.

2^3 = 2³

Факториал

n!=1*2*3…..*(n-1)*n читается n-факториал

Модуль числа

|a| — модуль а

2. Abs(a)

Плюс-минус, минус-плюс

имеет смысл только при употреблении вместе со знаком плюс минус cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y).

Больше

Больше или равно

2. >=

Меньше

Меньше или равно

2. <=

Много больше

Много меньше

Числа одного порядка

Приоритет операций

( )

Число сочетаний из n по r

Количество мультимножеств, число различных мультимножеств мощности k, состоящих из элементов, выбранных из множества мощности n

(( ))

Число Пи

3,14159265.

Кортеж , упорядоченный набор (список) некоторых величин, или горизонтальный вектор

Среднее значение, усреднение

2. — в статистике

Множество, знак множества

1. — внутри скобок записываются элементы

2. — значок множества со значком определяющего признака элементов множеств. Читается, как элементы «икс», такие что «для всех икс верно….».

3. — значок множества со значком определяющего признака элементов множеств. Читается, как элементы «икс», такие что «для всех икс верно….».

Пустое множество

Знак принадлежности множеству, принадлежит

Знак «не принадлежит множеству»

Значок принадлежности - математический символ.

Множество натуральных чисел

Множество целых чисел

1. ,

2. ⁺, ^> — положительные целые числа

3. ^≥ — неотрицательные целые числа

Множество рациональных чисел

Множество действительных чисел

Множество комплексных чисел

Множество кватернионов

Множество p-адических чисел

Стоит понимать, что вместо p может стоять любая буква, а в частном случае цифра.

Множество гипердействительных чисел

— расширение множества R действительных чисел, в котором каждый элемент представляется в виде суммы действительного числа и бесконечно малой добавки, бесконечно малые величины в котором являются величинами постоянными. В R* входят также бесконечно большие числа.
Вместо R можно использовать также другие множества, например, N*.

Мощность множества, кардинальное число, количество элементов

Алеф — кардинальное число, характеризующее мощность бесконечного вполне упорядоченного множества

Бет — кардинальное число, характеризующее мощность бесконечного множества

Континуум, мощность континуума

Знак подмножества

А B — A — подмножество B

2. — строгое, истинное подмножество

А B — A — подмножество B, при этом AB

Знак надмножества

А B — A — надмножество B

А B — A — надмножество B, при этом AB

Объединение (множеств)

Пересечение (множеств)

Симметрическая разность (множеств)

2. — чаще употребляется в булевой алгебре, математической логике

Разность множеств

2. — (редко)

Прямое (декартово) произведение множеств

Прямое, декартово произведение, математичекий символ

— множество n-местных кортежей (наборов), в которых на i-м месте стоит элемент из Y_i.

Прямая сумма

Несвязное объединение, несвязная сумма, дизъюнктное объединение

Логическое отрицание

3. !

Логическая конъюнкция

2. &

Логическая дизъюнкция

Исключающее или

Импликация (логическое следование)

Вывод в логике высказываний

Вывод, выводимость, математический символ

Нотация Айверсона, или скобка Айверсона. Сопоставляет некоторому утверждению 1 или 0, в зависимости от того, истинно или ложно данное утверждение.

Класс эквивалентности, огругление до целого в меньшую сторону, округление до ближайшего целого числа, нотация, скобака айверсона, образ множества,математичекий символ

2. — иногда

Делитель, делит/ не делит нацело

1. — делит

2. — не делит

Точный делитель (при разложении числа в произведение степеней простых чисел — простое число в максимальной степени, делящее исходное)

Взаимно простые числа

Примориал или праймориал

Наибольший общий делитель

2. НОД

Окргугление числа до целого

1. — в меньшую сторону

2. — в большую сторону

3. — до ближайшего целого

4. — до ближайшего целого

5. — до ближайшего целого

6. Round(x) — до ближайшего целого

7. Nint(x) — до ближайшего целого

Сопряжение комплексных чисел

z* — число, комплексно-сопряженное к z

— число, комплексно-сопряженное к x.
Если x=a+bi, то =a-bi

Пропорциональность

Отрезок

Интервал

Полуинтервал

1. — открытый слева

2. — открытый слева

3. — открытый справа

4. — открытый справа

Норма, длина вектора

2. — евклидова норма

Обозначения Дирака: кет-вектор

Обозначения Дирака: бра-вектор

Скалярное произведение

Векторное произведение векторов

Смешанное произведение векоторов

Ортогональность (перпендикулярность)

Параллельность

Эквивалентность матриц

Скалярное произведение матриц

Определитель матрицы

2. det(A), где А — матрица

3. (А), где А — матрица

Транспонирование матрицы

А^Т — транспонированная матрица А

Эрмитово-сопряженная (комплексно-сопряженная) матрица к матрице А

1. A^†

2.A*

3.А*^T

4. A^T*

6..

Произведение Адамара двух матриц одинакового размера

Определение функции, область определения и область значений функции

Запись f : X Y означает, что отображение f переводит элементы множества X в элементы множества Y

Определение функции (отображения) , задание функции

Запись f: a b означает, что отображение(функция) f переводит элемент а в элемент b.

Образ элемента/множества

f(x) — образ элемента x;

f(X) — образ множества X

2. — образ множества

f[X] — образ множества X

Ограничение функции на множестве, сужение области определения функции

Определение функции, область определения и область значений функции

Запись f : X Y означает, что отображение f переводит элементы множества X в элементы множества Y

Определение функции (отображения) , задание функции

Запись f: a b означает, что отображение(функция) f переводит элемент а в элемент b.

Образ элемента/множества

f(x) — образ элемента x;

f(X) — образ множества X

2. — образ множества

f[X] — образ множества X

Ограничение функции на множестве, сужение области определения функции

Если функция f определена на R, то f|_N определена только на N и принимает на N те же значения, что и f

Композиция функций

Производная

—

частная производная функции f по переменной x_k, где f = f(x₁,..,x_k,..,x_n)

3. — производная по времени (записывается над аргументом)

Интеграл, первообразная

1. — неопределенный интеграл, первообразная

2. — определенный интеграл

3. — криволинейный интеграл

4. — интеграл по контуру (поверхности — знак интеграла удваивается, объему-знак интеграла утраивается).

Свертка функция

(f*g)(x) =

f(y)g(x-y)dy,

Градиент

f(x₁,…,x_n)- вектор частных производных (f ‘_x1,..,f ‘_xn)

Дивергенция

Ротор

Эквивалентность функций при определенной базе

Производная

—

частная производная функции f по переменной x_k, где f = f(x₁,..,x_k,..,x_n)

3. — производная по времени (записывается над аргументом)

Интеграл, первообразная

1. — неопределенный интеграл, первообразная

2. — определенный интеграл

3. — криволинейный интеграл

4. — интеграл по контуру (поверхности — знак интеграла удваивается, объему-знак интеграла утраивается).

Свертка функция

(f*g)(x) =

f(y)g(x-y)dy,

Градиент

f(x₁,…,x_n)- вектор частных производных (f ‘_x1,..,f ‘_xn)

Дивергенция

Ротор

Эквивалентность функций при определенной базе

Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ

О-большое

Степень многочлена

— степень многочлена f

2. deg f

Лапласиан, оператор Лапласа

Кольцо вычетов по модулю n

3. Z/(n)Z

4. Z/(n)

Проективное пространство

Изоморфизм

Конгруэнтность

Коммутатор

[g, h] = g^-1h^-1gh, если g, h∈G, где G — группа.

[a,b]=ab-ba, если a, b∈R, где R — кольцо.

[A, B]=AB-BA, если A и B — операторы

Группа, порожденная подмножеством/элементом группы

Если S — некоторое подмножество элементов группы G, то <S> — подгруппа G, порожденная S

Если a₁, a₂…,a_n— некоторые элементы группы G, то <a₁, a₂…,a_n> — подгруппа G, порожденная элементами a₁, a₂…,a_n

Линейная оболочка подмножества/векторов линейного пространства

Если S — подмножество линейного пространства L, <S> — линейная оболочка множества S

Ортогональное дополнение подпространства

Если W — подпространство предгильбертового пространства V, то W^⊥ — ортогональное дополнение подпространства W

Тензорное произведение

Нормальная (инвариантная) подгруппа

Идеал кольца

Индекс подгруппы

Если H — подгруппа группы G, то [G:H] — индекс подгруппы H

Расширение поля

E:K значит, что E — это расширение поля K

Степень расширения поля

[E:K] — это степень расширения поля E:K, где E — это расширение поля K.

Факторгруппа

Если G -группа, а H- ее нормальная подгруппа, то G/H — факторгруппа G по H, т.е. группа классов смежности H в G

Фактормножество

Сплетение групп

2. А_wrВ

Граница множества

Если M — некоторое множество,
то — граница множества M

Группа единиц (обратимых элементов) кольца

1. R*

2. R^x

3. U(R)

Звезда Ходжа

Замыкание (алгебраическое, топологическое)

алгебраическое замыкание, математический символ

Полупрямое произведение групп

Копроизведение (категорная сумма)

Антисоединение отношений (Antijoin) — реляционная алгебра

Полусоединение отношений (Semijoin) — реляционная алгебра

или

Естественное соединение отношений (Natural Join) — реляционная алгебра

Проекция — реляционная алгебра

_a,b,..,k(R) — где a, b,…, k — атрибуты,
R — отношение

Выборка — реляционная алгебра

_aθb(R) — где a — атрибут, b — атрибут или константа, θ — бинарная операция из множества {<, ≤, =, ≥, >}, а R — отношение

Отношение эквивалентности, принадлежность одному классу эквивалентности

Класс эквивалентности

[a] — это множество элементов, эквивалентных a. Более точная запись — [a]_R означает класс эквивалентности, порожденный элементом a относительно отношения эквивалентности R

Вероятность события X

1. (X)

2. (X)

3. P(X)

4. Pr(X)

5. P[X]

6. Pr[X]

Условная вероятность

P(A|B) — вероятность события А, при условии, что событие B уже произошло

Независимость случайных событий

Распределение вероятности случайной величины

Несравнимость в теории порядка

Сравнимость в теории порядка

Покрытие в теории порядка

xy — элемент y покрывает элемент x

Наибольший (верхний )элемент решетки в теории порядка

Верхний, наибольший элемент решетки, математичекий символ

Наименьший (нижний) элемент решетки

Подтип, подкласс, дочерний класс в теории типов

ST значит, что S — подтип T

Высший (универсальный) тип в теории типов

Нижайший тип (универсальный подтип) в теории типов

Дельта-функция

Символ Кронекера, индикатор равенства переменных

Сортировка знак / легенда
Сортировка легенда / знак

Источник

Обозначения и символика

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык, составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I — обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается — Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f— фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) — прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) — луч с началом в точке А;

[АВ] — отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) — плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

5. Углы обозначаются:

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

— величина угла АВС;

— величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками — ||.

|АВ| — расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| — расстояние от точки А до линии a;

|Аα| — расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| — расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

π₂ —фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π₃, π₄ и т. д.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса _0α, подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: H_a — горизонтальный след прямой (линии) а;

F_a — фронтальный след прямой (линии ) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами _{1,2,3. n:}

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом ₀:

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0 :

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1 :

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Источник

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I — обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Группа I

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается — Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

А, В, С, D, … , L, М, N, …

1,2,3,4,…,12,13,14,…

а, b, с, d, … , l, m, n, …

Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f— фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) — прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) — луч с началом в точке А;

[АВ] — отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ,…,ζ,η,ν,…

α(а || b) — плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

β(d₁ d₂gα) — поверхность β определяется направляющими d₁ и d₂ , образующей g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:

∠ABC — угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, … , ∠φ°, …

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

— величина угла АВС;

— величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками — ||.

Например:

|АВ| — расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| — расстояние от точки А до линии a;

|Аα| — расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| — расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π₁ и π₂,
где π₁ — горизонтальная плоскость проекций;

π₂ —фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π₃, π₄ и т. д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х — ось абсцисс; у — ось ординат; z — ось аппликат.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

А’, В’, С’, D’, … , L’, М’, N’, горизонтальные проекции точек; А», В», С», D», … , L», М», N», … фронтальные проекции точек; a’ , b’ , c’ , d’ , … , l’, m’ , n’ , —
горизонтальные проекции линий; а» ,b» , с» , d» , … , l» , m» , n» , … фронтальные проекции линий; α’, β’, γ’, δ’,…,ζ’,η’,ν’,… горизонтальные проекции поверхностей;
α», β», γ», δ»,…,ζ»,η»,ν»,…
фронтальные проекции поверхностей.

Так: h_0α — горизонтальный след плоскости (поверхности) α;

f_0α — фронтальный след плоскости (поверхности) α.

Например: H_a — горизонтальный след прямой (линии) а;

F_a — фронтальный след прямой (линии ) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами _{1,2,3,…, n:}

А₁, А₂, А₃,…,А_n;

a₁, a₂, a₃,…,a_n;

α₁, α₂, α₃,…,α_n;

Ф₁, Ф₂, Ф₃,…,Ф_n и т. д.

A₀, B₀, С₀, D₀, …

Аксонометрические проекции

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса ⁰:

А⁰, В⁰, С⁰, D⁰, …

1⁰, 2⁰, 3⁰, 4⁰, …

a⁰, b⁰, c⁰, d⁰, …

α⁰, β⁰, γ⁰, δ⁰, …

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса ¹ :

А^{1 0}, В^{1 0}, С^{1 0}, D^{1 0}, …

1^{1 0}, 2^{1 0}, 3^{1 0}, 4^{1 0}, …

a^{1 0}, b^{1 0}, c^{1 0}, d^{1 0}, …

α^{1 0}, β^{1 0}, γ^{1 0}, δ^{1 0}, …

Б. Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	≡	Совпадают	(АВ)≡(CD) — прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей через точки С и D
2	≅	Конгруентны	∠ABC≅∠MNK — угол АВС конгруентен углу MNK
3	∼	Подобны	ΔАВС∼ΔMNK — треугольники АВС и MNK подобны
4	\|\|	Параллельны	α\|\|β — плоскость α параллельна плоскости β
5	⊥	Перпендикулярны	а⊥b — прямые а и b перпендикулярны
6		Скрещиваются	с d — прямые с и d скрещиваются
7		Касательные	t l — прямая t является касательной к линии l. βα — плоскость β касательная к поверхности α
8	→	Отображаются	Ф₁→Ф₂ — фигура Ф₁ отображается на фигуру Ф₂
9	S	Центр проецирования. Если центр проецирования несобственная точка, то его положение обозначается стрелкой, указывающей направление проецирования	—
10	s	Направление проецирования	—
11	P	Параллельное проецирование	р_s^α Параллельное проецирование — параллельное проецирование на плоскость α в направлении s

В. Обозначения теоретико-множественные

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи	Пример символической записи в геометрии
1	M,N	Множества	—	—
2	A,B,C,…	Элементы множества	—	—
3	{ … }	Состоит из …	Ф{A, B, C,… }	Ф{A, B, C,… } — фигура Ф состоит из точек А, В,С, …
4	∅	Пустое множество	L — ∅ — множество L пустое (не содержит элементов )	—
5	∈	Принадлежит, является элементом	2∈N (где N — множество натуральных чисел) — число 2 принадлежит множеству N	А ∈ а — точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а )
6	⊂	Включает, cодержит	N⊂М — множество N является частью (подмножеством) множества М всех рациональных чисел	а⊂α — прямая а принадлежит плоскости α (понимается в смысле: множество точек прямой а является подмножеством точек плоскости α)
7	∪	Объединение	С = A U В — множество С есть объединение множеств A и В; {1, 2. 3, 4,5} = {1,2,3}∪{4,5}	ABCD = [AB] ∪ [ВС] ∪ [CD] — ломаная линия, ABCD есть объединение отрезков [АВ], [ВС], [CD]
8	∩	Пересечение множеств	М=К∩L — множество М есть пересечение множеств К и L (содержит в себе элементы, принадлежащие как множеству К, так и множеству L). М ∩ N = ∅— пересечение множеств М и N есть пустое множество (множества М и N не имеют общих элементов)	а = α ∩ β — прямая а есть пересечение плоскостей α и β а ∩ b = ∅ — прямые а и b не пересекаются (не имеют общих точек)

Группа II СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	∧	Конъюнкция предложений; соответствует союзу «и». Предложение (р∧q) истинно тогда и только тогда,когда р и q оба истинны	α∩β = { К:K∈α∧K∈β} Пересечение поверхностей α и β есть множество точек (линия), состоящее из всех тех и только тех точек К, которые принадлежат как поверхности α, так и поверхности β
2	∨	Дизъюнкция предложений; соответствует союзу «или». Предложение (p∨q) истинно, когда истинно хотя бы одно из предложений р или q (т. е. или р, или q, или оба).	—
3	⇒	Импликация — логическое следствие. Предложение р⇒q означает: «если р, то и q»	(а\|\|с∧b\|\|с)⇒a\|\|b. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой
4	⇔	Предложение (р⇔q) понимается в смысле: «если р, то и q; если q, то и р»	А∈α⇔А∈l⊂α. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит некоторой линии, принадлежащей этой плоскости. Справедливо также и обратное утверждение: если точка принадлежит некоторой линии, принадлежащей плоскости, то она принадлежит и самой плоскости
5	∀	Квантор общности, читается: для всякого, для всех, для любого. Выражение ∀(x)P(x) означает: «для всякого x: имеет место свойство Р(х) «	∀( ΔАВС)( = 180°) Для всякого (для любого) треугольника сумма величин его углов при вершинах равна 180°
6	∃	Квантор существования, читается: существует. Выражение ∃(х)P(х) означает: «существует х, обладающее свойством Р(х)»	(∀α)(∃a)[a⊄α∧a\|\|α].Для любой плоскости α существует прямая а, не принадлежащая плоскости α и параллельная плоскости α
7	∃1	Квантор единственности существования, читается: существует единственное (-я, -й)… Выражение ∃1(x)(Рх) означает: «существует единственное (только одно) х, обладающее свойством Рх»	(∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для любых двух различных точек А и В существует единственная прямая a, проходящая через эти точки.
8	(Px)	Отрицание высказывания P(x)	аb(∃α)(α⊃а, Ь).Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости а, которая содержит их
9		Отрицание знака	[AB]≠[CD] —отрезок [АВ] не равен отрезку [CD].а?b — линия а не параллельна линии b